Pergunta: encontrar a solução y(t) para t\ge0.
Observação importante que vou usar: u_{1}(t) é a função degrau deslocada de unidade, isto é, u_{1}(t)=u(t-1) (a função de Heaviside que vale 0 para t<1 e 1 para t\ge1).
Passo 2
Apresento as ferramentas de Laplace que vou usar (com explicação breve e clara).
Definição simbólica: seja Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} a transformada de Laplace de y.
Transformadas de derivadas (fórmulas padrão; aqui y(0) e y'(0) aparecem):
Explicação: na transformada da derivada aparece multiplicação por s e subtraem-se os valores iniciais — isso torna a EDO algébrica em s.
Transformada do degrau deslocado (segundo teorema do deslocamento):
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s}.
Também útil: se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, então \mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s). Essa é a peça que vai permitir tratar o deslocamento no tempo.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace à EDO inteira. Como y(0)=0 e y'(0)=0, as fórmulas de derivada simplificam bastante.
Interpretação e estratégia: essa expressão tem o fator e^{-s} multiplicando uma função F(s)=\dfrac{1}{s(s^{2}+2s+2)}. Pelo segundo teorema do deslocamento, isso corresponde no domínio do tempo a
y(t)=u(t-1)\,f(t-1),
onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Portanto basta calcular f(t) (a transformada inversa de F(s)) e então deslocá-la multiplicando por u(t-1).
Agora aplico as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1.
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s+1}{(s+1)^{2}+1}\}=e^{-t}\cos t.
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}+1}\}=e^{-t}\sin t.
Logo
f(t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-t}\cos t-\frac{1}{2}e^{-t}\sin t.
Explicando: cada termo corresponde a uma resposta natural do sistema homogêneo (termos exponenciais amortecidos e senoidais) e um termo constante 1/2 que vem da divisão por s.
Passo 7
Retorno ao deslocamento temporal: como Y(s)=e^{-s}F(s), pelo teorema do deslocamento
y(t)=u(t-1)\,f(t-1).
Portanto, escrevendo explicitamente e lembrando que para t<1 temos u(t-1)=0,