Seja uma população X: N(80,26) e retira-se uma amostra de tamanho 25. Calcule: \mathrm{P}(\overline{\mathrm{x}} \leq 82)
Passo 1
O enunciado fornece:
População X com distribuição normal \,X\sim N(80,26)\,.
Tamanho da amostra n=25.
O que é pedido:
Calcular \mathrm{P}(\overline{\mathrm{x}} \leq 82), isto é, a probabilidade da média amostral ser menor ou igual a 82.
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): quando uma população é normal, a distribuição da média amostral \overline{X} também é normal, com média igual à média populacional e variância igual à variância populacional dividida por n. Em fórmulas:
\sigma^{2} é a variância da população (aqui assumimos que a notação N(80,26) indica variância \sigma^{2}=26);
n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
Explicando em palavras: a média amostral tende a ficar concentrada ao redor de \mu; a dispersão dessa média é menor que a dispersão de um indivíduo, e é dada pela chamada “erro padrão” \sigma/\sqrt{n}.
Passo 3
Calcular os parâmetros da distribuição de \overline{X}.
A variância da média amostral é \dfrac{\sigma^{2}}{n}=\dfrac{26}{25}. O desvio padrão (erro padrão) é