Seja uma população X: N(80,26) e retira-se uma amostra de tamanho 25. Calcule:
\mathrm{P}(\overline{\mathrm{x}} \leq 82)

Passo 1

O enunciado fornece:
  • População X com distribuição normal \,X\sim N(80,26)\,.
  • Tamanho da amostra n=25.
    O que é pedido:
  • Calcular \mathrm{P}(\overline{\mathrm{x}} \leq 82), isto é, a probabilidade da média amostral ser menor ou igual a 82.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): quando uma população é normal, a distribuição da média amostral \overline{X} também é normal, com média igual à média populacional e variância igual à variância populacional dividida por n. Em fórmulas:
\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right),
onde:
  • \mu é a média da população (aqui \mu=80);
  • \sigma^{2} é a variância da população (aqui assumimos que a notação N(80,26) indica variância \sigma^{2}=26);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
Explicando em palavras: a média amostral tende a ficar concentrada ao redor de \mu; a dispersão dessa média é menor que a dispersão de um indivíduo, e é dada pela chamada “erro padrão” \sigma/\sqrt{n}.

Passo 3

Calcular os parâmetros da distribuição de \overline{X}.
A variância da média amostral é \dfrac{\sigma^{2}}{n}=\dfrac{26}{25}. O desvio padrão (erro padrão) é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{26}}{5}.
Vamos obter valores numéricos aproximados:
\sqrt{26}\approx 5,099\quad\Rightarrow\quad \frac{\sqrt{26}}{5}\approx 1,020.

Passo 4

Padronizar para usar a tabela da normal padrão. Definimos a variável padrão Z por
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.
Queremos \mathrm{P}(\overline{X}\le 82)=\mathrm{P}\!\left(Z\le \frac{82-80}{\sigma/\sqrt{n}}\right). Calculando o numerador e o quociente:
82-80=2, \qquad \frac{82-80}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{26}/5}=\frac{10}{\sqrt{26}}\approx 1,960.

Passo 5

Interpretar o valor de Z na normal padrão. A probabilidade pedida é
\mathrm{P}(\overline{X}\le 82)=\Phi(1,960),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão. Pelo valor tabelado (ou pelo fato conhecido de que \Phi(1,96)\approx 0,9750), obtemos
\mathrm{P}(\overline{X}\le 82)\approx 0,9750.

Resposta

0,9750

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