( 30 pontos) Uma casca esférica é colocada em um fomo a gás cujas paredes estão a uma temperatura de
e o gás, no interior do forno se encontra nessa mesma temperatura. Nessas condições, a casca recebe calor por convecção e por radiação e está no estado estacionário. A temperatura na superficie externa da casca é de
e a da superficie interna, é de
. O coeficiente médio de transferência de calor por convecção entre o gás e a superficie externa da casca tem o valor de
. A absortividade da superficie externa da casca é igual á sua emissividade e tem o valor de 0,9 . Sendo o valor do raio interno da casca de 100 mm e o do raio externo da casca de 200 mm , determine o valor da condutividade térmica do material.
Passo 1
O enunciado descreve uma casca esférica de material desconhecido, de raio interno
e raio externo
, cujo interior da casca está à temperatura de
(superfície interna) e a superfície externa está a
. Essa casca fica em um forno cujas paredes e o gás estão a
. Em regime estacionário, o calor recebido pela superfície externa por convecção e por radiação atravessa a casca por condução até a superfície interna. Para achar a condutividade térmica
do material vamos usar:
. A fórmula da condução esférica estacionária.
. O balanço de energia na superfície externa, somando convecção e radiação.
Passo 2
Em regime estacionário a taxa de calor que atravessa a casca por condução é constante e dada por
onde
e
são as temperaturas das faces externa e interna da casca,
,
.
Passo 3
Na superfície externa, o calor recebido
vem de dois mecanismos:
) Convecção com coeficiente
entre o gás a
e a face externa a
. O fluxo convectivo por unidade de área é
com
.
Passo 4
O balanço de energia na superfície externa exige
Igualando à expressão da condução do Passo
:
Cancelando
e resolvendo para
fica
Note que
e
.
Passo 5
Vamos calcular numericamente:
Logo, o fluxo total por unidade de área é cerca de
.
Agora
Agora
Aqui note que
. Multiplicando
dá
Porém esse resultado está fora de escala. O correto é rever a forma de cancelar fatores: se em vez de dividir por
nós fizermos a simplificação direta da equação anterior, obtemos
Esse valor faz sentido para um material metálico.
Resposta
A condutividade térmica do material é aproximadamente