Questão 3: Uma barra de aço ( k=17 W / m K ) com diâmetro de 25 mm, 1 m de comprimento e resistência elétrica de 50 ohms , é utilizada como um aquecedor de água. A barra está mergulhada em um tanque com água a Tinfty=20^circ C e um coeficiente convectivo igual a h=180 W /(m^2 ^circ C). Num determinado instante é estabelecida uma corrente elétrica na barra, e a mesma se aquece até sua superfície externa alcançar uma temperatura constante de 65^circ C.
a) Calcule a perda de calor da barra para a água, a temperatura no centro da barra e a corrente elétrica que passa através da mesma em condição de regime estacionário.
b) Um engenheiro apresentou uma proposta para melhorar a eficiência do aquecedor. Ele propõe reduzir o diâmetro da barra para 20 mm , o comprimento para 0,7 m e incluir 8 aletas longitudinais do mesmo material, na superfície externa da barra, com 2 mm de espessura, 7,5 mm de comprimento e rendimento de 85 %. Avalie a viabilidade da proposta de melhoria apresentada pelo engenheiro, baseando-se em cálculos que comprovem a sua resposta, mantendo a mesma condição regime permanente avaliada na letra a). Indique o percentual de melhoria alcançado com esta proposta.

Passo 1

A barra de aço tem condutividade térmica k=17 W/(mcdot K), diâmetro d1=25 mm, comprimento L1=1,0 m e resistência elétrica Rel1=50 Omega. Ela está em água a Tinfty=20,^circC com coeficiente de convecção h=180 W/(m^2cdot^circC). Quando a superfície da barra atinge Ts=65,^circC em regime permanente, queremos:
– a) a potência térmica dissipada para a água ( Q1), a temperatura no centro da barra ( Tc1) e a corrente elétrica ( I1).

Passo 2

Calcular a área de troca convectiva e a potência dissipada.
O diâmetro em metros é d1=0,025 m, logo a área lateral é
As1 = pi d1 L1 = pi,(0,025),(1,0) approx 0,07854 m^2
A potência térmica dissipada é
Q1 = h,As1,(Ts-Tinfty) = 180 times 0,07854 times (65-20) approx 636,2 W

Passo 3

Determinar a temperatura no centro da barra, usando geração volumétrica uniforme devido ao aquecimento ôhmico. O volume da barra é
V1 = pi l(d12r)^2 L1 = pi,(0,0125)^2,(1,0) approx 4,9087times10^-4 m^3
A geração volumétrica é
q''' = Q1V1 = 636,24,9087times10^-4 approx 1,296times10^6 W/m^3
Para um cilindro com geração interna e temperatura de superfície Ts, a temperatura no centro vale
Tc1 = Ts + q''',R^24,k onde R=d12=0,0125 m
Logo,
Tc1 = 65 + 1,296times10^6,(0,0125)^24times17 approx 65 + 2,98 = 67,98,^circC

Passo 4

Calcular a corrente elétrica, sabendo que a potência ôhmica I1^2Rel1 deve fornecer Q1.
I1 = raizQ1Rel1 = raiz636,250 approx 3,57 A

Passo 5

Resumo dos resultados da parte (a):
Q1 approx 636,2 W, Tc1 approx 67,98,^circC, I1 approx 3,57 A

Passo 6

Para a proposta de melhoria, a barra passa a ter d2=20 mm e L2=0,7 m. Além disso, são adicionadas N=8 aletas longitudinais de mesmo material, cada uma com espessura 2 mm, extensão radial a=7,5 mm e eficiência eta=0,85. Mantêm-se Ts=65,^circC, Tinfty=20,^circC e h=180.

Passo 7

Determinar a resistividade elétrica do aço a partir da barra original:
rho = Rel1,A1L1 com A1=pi,(0,0125)^2
rho = 50timespi,(0,0125)^21,0 approx 2,454times10^-2 Omegacdotm
A nova resistência é
Rel2 = rho,L2A2 com A2=pi,(0,01)^2
Rel2 = 2,454times10^-2times0,7pi,(0,01)^2 approx 54,7 Omega

Passo 8

Calcular a área de convecção da nova barra sem aletas e a área efetiva das aletas.
Área lateral da barra:
Abase = pi,d2,L2 = pi,(0,02),(0,7) approx 0,0440 m^2
Área total de faces das aletas (2 faces por aleta):
Aa<=tas = N times 2 times L2 times a = 8 times 2 times 0,7 times 0,0075 = 0,0840 m^2

Passo 9

Calcular a nova potência dissipada Q2, somando convecção da base e das aletas com eficiência:
Q2 = h,(Abase + eta,Aa<=tas),(Ts-Tinfty)
Q2 = 180l(0,0440 + 0,85times0,0840r)times(65-20) approx 934,6 W

Passo 10

Determinar o ganho percentual de potência térmica em relação a Q1:
Ganho = Q2 - Q1Q1times100% = 934,6 - 636,2636,2times100% approx 46,9%

Resposta

(a)
Q1approx636,2 W,
Tc1approx67,98,^circC,
I1approx3,57 A.
(b)
Com as dimensões reduzidas e 8 aletas de eficiência 85%, a potência sobe para Q2approx934,6 W, o que representa um ganho de approx46,9%. Portanto, a proposta é viável e melhora significativamente a eficiência do aquecedor.

Exercícios relacionados