Por um fio de cobre de 10 m de comprimento passa uma corrente elétrica. O fio é envolvido por uma casca cilindrica de PVC maleável, com raio interno de
e saio externo de
. O fio encapado é exposto ao ar que está com a temperatura de
e cujo valor do coeficiente médio de transferência de calor por convecção é de
K. A corrente elétrica que passa pelo fio gera calor por efeito Joule, produzindo uma taxa de transferência de calor de 13 W que passa para a casca de PVC. Considerando que o sistema se encontra no estado estacionário e que a condutividade térmica do PVC é de
, obtenha:
a) ( 10 pontos) O valor do termo de fonte térmica relacionado ao calor gerado por efeito Joule no fio.
b) (10 pontos) Os valores das temperaturas nas superficies, interna e externa da casca cilíndrica de PVC.
c) (15 pontos) A expressão do perfil da temperatura na casca cilíndrica de PVC, resolvendo a equação de condução em coordenadas cilindricas:
onde
é a coordenada radial da casca cilíndrica.
a) ( 10 pontos) O valor do termo de fonte térmica relacionado ao calor gerado por efeito Joule no fio.
b) (10 pontos) Os valores das temperaturas nas superficies, interna e externa da casca cilíndrica de PVC.
c) (15 pontos) A expressão do perfil da temperatura na casca cilíndrica de PVC, resolvendo a equação de condução em coordenadas cilindricas:
Passo 1
O enunciado fala de um fio metálico de comprimento
,m que gera por efeito Joule uma potência total
,W e está envolto por uma casca cilíndrica de PVC entre raios interno
,mm e externo
,mm. O ar ambiente está a
C com coeficiente de convecção
,W/
K. Vamos usar:
- Para (a), a relação entre geração volumétrica
e potência total gerada. - Para (b), resistência térmica em série (condução radial
convecção). - Para (c), a solução geral da equação de condução radial sem fonte em regime estacionário em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Para achar o termo de fonte volumétrico
precisamos da definição
onde o volume do núcleo (fio) é
Logo,
Portanto
Passo 3
Para obter as temperaturas nas superfícies interna (
) e externa (
) da casca de PVC, montamos a resistência térmica total:
- Condução radial
com
,W/mK.
- Convecção externa
Calculando
A resistência total é
Então a temperatura na face interna da casca é
e a face externa
Passo 4
A equação de condução estacionária, sem geração, em coordenadas cilíndricas é
Integrando duas vezes gera a forma geral
Impondo as condições de contorno
encontramos
Logo, o perfil de temperatura é
Resposta
a)
,W/
.
b) C e
C.
c)
b)
c)