Por um fio de cobre de 10 m de comprimento passa uma corrente elétrica. O fio é envolvido por uma casca cilindrica de PVC maleável, com raio interno de 1,6 mm e saio externo de 4,0 mm. O fio encapado é exposto ao ar que está com a temperatura de 25^circ C e cujo valor do coeficiente médio de transferência de calor por convecção é de 2 W / m^2 K. A corrente elétrica que passa pelo fio gera calor por efeito Joule, produzindo uma taxa de transferência de calor de 13 W que passa para a casca de PVC. Considerando que o sistema se encontra no estado estacionário e que a condutividade térmica do PVC é de 0,155 W / m K, obtenha:
a) ( 10 pontos) O valor do termo de fonte térmica relacionado ao calor gerado por efeito Joule no fio.
b) (10 pontos) Os valores das temperaturas nas superficies, interna e externa da casca cilíndrica de PVC.
c) (15 pontos) A expressão do perfil da temperatura na casca cilíndrica de PVC, resolvendo a equação de condução em coordenadas cilindricas:
(1 / s) d[s d(T) / d s] / d s=0
onde s é a coordenada radial da casca cilíndrica.

Passo 1

O enunciado fala de um fio metálico de comprimento L=10,m que gera por efeito Joule uma potência total dotQ=13,W e está envolto por uma casca cilíndrica de PVC entre raios interno ri=1,6,mm e externo re=4,0,mm. O ar ambiente está a Tinfty=25^circC com coeficiente de convecção h=2,W/ m^2K. Vamos usar:
  • Para (a), a relação entre geração volumétrica q''' e potência total gerada.
  • Para (b), resistência térmica em série (condução radial + convecção).
  • Para (c), a solução geral da equação de condução radial sem fonte em regime estacionário em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Para achar o termo de fonte volumétrico q''' precisamos da definição
q''' = dot QV
onde o volume do núcleo (fio) é
V = pi,ri^2,L
Logo,
V = pi,(1,6times10^-3)^2times10 =pitimes2,56times10^-6times10 =pitimes2,56times10^-5approx8,04times10^-5 m^3
Portanto
q''' = 138,04times10^-5approx1,62times10^5 W/m^3

Passo 3

Para obter as temperaturas nas superfícies interna ( Ti) e externa ( Te) da casca de PVC, montamos a resistência térmica total:
  • Condução radial
Rcond=lnl(re/rir)2pi k L,
com k=0,155,W/mK.
  • Convecção externa
Rconv=1h,Ae com Ae=2pi,re,L
Calculando
lnreri=ln4,01,6= ln2,5approx0,9163,
Rcond=0,91632pitimes0,155times10approx0,0941 K/W,
Ae=2pitimes4,0times10^-3times10approx0,2513 m^2,
Rconv=12times0,2513approx1,989 K/W
A resistência total é
Rtot=Rcond+Rconvapprox2,083 K/W
Então a temperatura na face interna da casca é
Ti = Tinfty + dotQ,Rtot =25 + 13times2,083approx52,1^circC,
e a face externa
Te = Tinfty + dotQ,Rconv =25 + 13times1,989approx50,9^circC

Passo 4

A equação de condução estacionária, sem geração, em coordenadas cilíndricas é
1s,dds!l(s,dTdsr)=0
Integrando duas vezes gera a forma geral
T(s) = C1ln s + C2
Impondo as condições de contorno
T(ri)=Ti, T(re)=Te
encontramos
C1 = Te - Tiln(re/ri), C2 = Ti - C1,ln ri
Logo, o perfil de temperatura é
T(s) = Ti + Te - Tiln!l(re/rir);lnsri

Resposta

a) ;q''' approx1,62times10^5,W/ m^3.
b) ;Tiapprox52,1^circC e Teapprox50,9^circC.
c)
T(s) = Ti + Te - Tiln(re/ri),lnsri

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