( 30 pontos) Um conjunto cilindro-pistão apresenta 300 g de água a 30^{\circ} \mathrm{C} e título de 70 \%. O sistema é, então, submetido a um processo de descompressão isotérmica até alcançar um volume de 10,50 \mathrm{~m}^{3}. Determine o trabalho realizado durante este processo.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro):
  • Massa total de água: m=300\\ \mathrm{g}=0,300\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura constante do processo: T=30^{\circ}\mathrm{C}.
  • Título (qualidade) inicial: x=70\% = 0{,}70. Ou seja, a mistura inicial tem 70\% da massa em vapor e 30\% em líquido.
  • Processo: descompressão isotérmica até o volume total final V_2=10{,}50\\ \mathrm{m}^3.
  • O que é pedido: trabalho realizado durante esse processo (assumir sistema fechado).
Informações que vamos precisar obter (e que dependem de T=30^{\circ}\mathrm{C}):
  • Pressão de saturação \,P_{\text{sat}}(30^\circ\mathrm{C}).
  • Volume específico do líquido saturado \,v_f(30^\circ\mathrm{C}).
  • Volume específico do vapor saturado \,v_g(30^\circ\mathrm{C}).
    Esses valores vêm das tabelas de vapor d’água; para \,v_g também é usual aproximar o vapor ideal pela equação dos gases reais quando a pressão é baixa.

Passo 2

Princípio físico e fórmula do trabalho:
  • Em um processo isotérmico onde a substância permanece na mistura saturada (líquido + vapor) a temperatura fixa, a pressão do sistema é a pressão de saturação \,P_{\text{sat}}(T) e é constante durante a transformação.
  • O trabalho de um sistema fechado em expansão isotérmica com pressão constante é
W=\int_{V_1}^{V_2} P\,\mathrm{d}V = P_{\text{sat}}\,(V_2-V_1).
Logo precisamos de P_{\text{sat}} e do volume inicial V_1.
  • O volume inicial é obtido a partir da qualidade x e dos volumes específicos saturados:
v_1 = x\,v_g + (1-x)\,v_f, \qquad V_1 = m\,v_1.

Passo 3

Valores de saturação a 30^{\circ}\mathrm{C} (uso de tabelas + aproximação):
  • Pressão de saturação (tabela): P_{\text{sat}}(30^\circ\mathrm{C}) \approx 4{,}246\\ \mathrm{kPa}. Em SI isso é P_{\text{sat}}=4{,}246\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=4{,}246\\ \mathrm{Pa}\cdot10^{3} (vou usar 4{,}246\\ \mathrm{kPa}=4246\\ \mathrm{Pa}).
  • Volume específico do líquido saturado (tabela): v_f(30^\circ\mathrm{C})\approx 0{,}001004\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} (aproximação típica, líquido praticamente incompressível).
  • Para o volume específico do vapor saturado \,v_g é aceitável aqui usar a aproximação do gás ideal porque a pressão é baixa; pela lei dos gases ideais v_g\approx \dfrac{R\,T}{P_{\text{sat}}}, com R da água:
    • Constante específica do vapor d’água: R=0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}.
    • Temperatura absoluta: T=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
      Calculemos \,v_g com esses números.

Passo 4

Cálculo de \,v_g usando gás ideal:
v_g \approx \frac{R\,T}{P_{\text{sat}}}.
Inserindo valores (atenção às unidades: R em \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}, P_{\text{sat}} em \mathrm{kPa}):
v_g \approx \frac{0{,}4615\cdot 303{,}15}{4{,}246} \approx \frac{139{,}90}{4{,}246} \approx 32{,}97\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 5

Cálculo do volume específico inicial v_1 e do volume total inicial V_1:
v_1 = x\,v_g + (1-x)\,v_f =0{,}70\cdot 32{,}97 + 0{,}30\cdot 0{,}001004.
Calculemos cada termo:
0{,}70\cdot 32{,}97 = 23{,}079, \qquad 0{,}30\cdot 0{,}001004 \approx 0{,}000301.
Somando:
v_1 \approx 23{,}079 + 0{,}000301 \approx 23{,}0793\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Volume total inicial:
V_1 = m\,v_1 = 0{,}300\\ \mathrm{kg}\times 23{,}0793\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} \approx 6{,}9238\\ \mathrm{m}^3.

Passo 6

Cálculo do trabalho usando W = P_{\text{sat}}\,(V_2-V_1):
  • Volume final dado: V_2=10{,}50\\ \mathrm{m}^3.
  • Diferença de volumes:
\Delta V = V_2 - V_1 = 10{,}50 - 6{,}9238 \approx 3{,}5762\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão em SI: P_{\text{sat}}=4{,}246\\ \mathrm{kPa}=4{,}246\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
    Agora o trabalho:
W = P_{\text{sat}}\,\Delta V =4{,}246\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}\times 3{,}5762\\ \mathrm{m}^3 \approx 1{,}52\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Em unidades mais usuais:
W \approx 15{,}2\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação do sinal: como o sistema se expande (volume aumenta) e usamos W=\int P\,\mathrm{d}V, este W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno (positivo).

Resposta

W \approx 1{,}52\times10^{4}\\ \mathrm{J}
W \approx 15{,}2\\ \mathrm{kJ}

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