(5 pontos) Um reservatório de 200 L está 90 \% preenchido com água. Em um dado momento, abre-se um registro na base desse reservatório, com o intuito de drenar toda a água de seu interior. Nessa situação, o escoamento que sai do registro é permanente ou transiente? Por quê?

Passo 1

O enunciado e os dados importantes (diretamente fornecidos ou inferíveis) são:
  • O reservatório tem capacidade total de 200\\ \text{L}.
  • Está preenchido a 90\%, logo o volume inicial de água é 0{,}90\cdot200=180\\ \text{L}.
  • Abre-se um registro na base do reservatório para drenar toda a água; não há menção a qualquer reposição de água durante o escoamento.
  • A pergunta: o escoamento que sai do registro é permanente (steady) ou transiente (unsteady)? Justificar a resposta.

Passo 2

Entender bem o que cada termo significa (explicação passo a passo, sem pressa):
  • Um escoamento é dito permanente quando, em cada ponto do sistema, as condições do fluido (velocidade, pressão, vazão, etc.) não mudam com o tempo. Em termos simples: se eu volto ao mesmo ponto mais tarde, as grandezas são as mesmas.
  • Um escoamento é dito transiente quando essas grandezas variam com o tempo no mesmo ponto — isto é, a vazão ou a velocidade que sai pelo registro muda ao longo do tempo.
    Isso serve para sabermos o que procurar no problema: se alguma variável que determina a vazão muda no tempo, o escoamento é transiente.

Passo 3

Raciocínio qualitativo aplicado ao problema (o jeito mais direto de ver o “por quê”):
  • Ao abrir o registro, a água começa a sair. Enquanto sai, o nível da água no reservatório diminui.
  • O nível de água determina a pressão/hidrostática na base (a carga hidráulica que empurra a água para fora). Se o nível diminui, a pressão na saída diminui.
  • Como a pressão/altura que empurra a água varia com o tempo, a velocidade de saída e, portanto, a vazão também variam com o tempo.
    Logo, sem reposição de água que mantenha o nível constante, as condições na saída mudam com o tempo — o escoamento é transiente.

Passo 4

Vamos ilustrar com uma fórmula clássica (isso ajuda a ver matematicamente que a vazão depende de t).
  • Para um orifício na base, a velocidade de saída dada por Torricelli é
v(t)=\sqrt{2g\,h(t)},
onde:
  • v(t) é a velocidade de saída no instante t;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • h(t) é a altura do nível de água acima do orifício no instante t.
  • A vazão volumétrica é
Q(t)=a\,v(t)=a\sqrt{2g\,h(t)},
onde a é a área da seção do orifício (registro). Note que Q depende de h(t).

Passo 5

Relacionando nível e vazão pelo balanço de massa (continuidade) — montar a equação diferencial:
  • Se \!A\! é a área de seção transversal do reservatório (assumimos que o tanque tem paredes verticais e área uniforme), o volume de água é V(t)=A\,h(t).
  • A continuidade diz que a taxa de variação do volume é a vazão que sai (com sinal negativo):
A\,\frac{dh}{dt}=-Q(t)=-a\sqrt{2g\,h(t)}.
Explicando cada termo:
  • A\,\dfrac{dh}{dt} é a variação temporal do volume dentro do reservatório;
  • O lado direito é a vazão de saída, negativa porque o volume diminui.

Passo 6

Resolver a equação diferencial (passo a passo, para ver que h e Q variam com o tempo):
  • Separe variáveis:
\frac{dh}{\sqrt{h}}=-\frac{a}{A}\sqrt{2g}\,dt.
  • Integre do instante inicial t=0 (com h(0)=h_0) até um tempo t qualquer:
\int_{h_0}^{h(t)} h^{-1/2}\,dh = -\frac{a}{A}\sqrt{2g}\int_0^{t} dt.
  • A integral do lado esquerdo dá 2\big(\sqrt{h(t)}-\sqrt{h_0}\big). Assim:
2\big(\sqrt{h(t)}-\sqrt{h_0}\big) = -\frac{a}{A}\sqrt{2g}\;t.
  • Isolando \sqrt{h(t)}:
\sqrt{h(t)}=\sqrt{h_0}-\frac{a}{2A}\sqrt{2g}\;t.
Portanto h(t) diminui com t (até ficar zero) e é explicitamente função do tempo. Como Q(t)=a\sqrt{2g\,h(t)}, também Q é função do tempo.

Passo 7

Conclusão lógica e assertiva (resumindo a evidência matemática e física):
  • A equação acima mostra que h(t) e, consequentemente, Q(t) variam no tempo desde o instante em que o registro é aberto (a menos que haja alguma fonte que mantenha h constante).
  • Assim, o escoamento não é permanente: é transiente. Mesmo que, na prática, a variação seja lenta se o reservatório for muito grande comparado ao orifício, ela existe e caracteriza o escoamento como transiente.
  • Observação motivadora: se houvesse uma entrada de água ajustada para manter h constante, aí sim o escoamento seria permanente — é essa diferença na presença/ausência de reposição que decide o caráter do escoamento.

Resposta

Transiente — porque, ao drenar sem reposição, o nível de água h(t) diminui com o tempo e isso faz com que a velocidade e a vazão na saída Q(t)=a\sqrt{2g\,h(t)} variem no tempo; portanto as condições não permanecem constantes.

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