(5 pontos) Um reservatório de 200 L está
preenchido com água. Em um dado momento, abre-se um registro na base desse reservatório, com o intuito de drenar toda a água de seu interior. Nessa situação, o escoamento que sai do registro é permanente ou transiente? Por quê?
Passo 1
O enunciado e os dados importantes (diretamente fornecidos ou inferíveis) são:
- O reservatório tem capacidade total de
. - Está preenchido a
, logo o volume inicial de água é . - Abre-se um registro na base do reservatório para drenar toda a água; não há menção a qualquer reposição de água durante o escoamento.
- A pergunta: o escoamento que sai do registro é permanente (steady) ou transiente (unsteady)? Justificar a resposta.
Passo 2
Entender bem o que cada termo significa (explicação passo a passo, sem pressa):
- Um escoamento é dito permanente quando, em cada ponto do sistema, as condições do fluido (velocidade, pressão, vazão, etc.) não mudam com o tempo. Em termos simples: se eu volto ao mesmo ponto mais tarde, as grandezas são as mesmas.
- Um escoamento é dito transiente quando essas grandezas variam com o tempo no mesmo ponto — isto é, a vazão ou a velocidade que sai pelo registro muda ao longo do tempo.
Isso serve para sabermos o que procurar no problema: se alguma variável que determina a vazão muda no tempo, o escoamento é transiente.
Passo 3
Raciocínio qualitativo aplicado ao problema (o jeito mais direto de ver o “por quê”):
- Ao abrir o registro, a água começa a sair. Enquanto sai, o nível da água no reservatório diminui.
- O nível de água determina a pressão/hidrostática na base (a carga hidráulica que empurra a água para fora). Se o nível diminui, a pressão na saída diminui.
- Como a pressão/altura que empurra a água varia com o tempo, a velocidade de saída e, portanto, a vazão também variam com o tempo.
Logo, sem reposição de água que mantenha o nível constante, as condições na saída mudam com o tempo — o escoamento é transiente.
Passo 4
Vamos ilustrar com uma fórmula clássica (isso ajuda a ver matematicamente que a vazão depende de
).
- Para um orifício na base, a velocidade de saída dada por Torricelli é
onde:
-
é a velocidade de saída no instante ; -
é a aceleração da gravidade; -
é a altura do nível de água acima do orifício no instante . - A vazão volumétrica é
onde
é a área da seção do orifício (registro). Note que
depende de
.
Passo 5
Relacionando nível e vazão pelo balanço de massa (continuidade) — montar a equação diferencial:
- Se
é a área de seção transversal do reservatório (assumimos que o tanque tem paredes verticais e área uniforme), o volume de água é . - A continuidade diz que a taxa de variação do volume é a vazão que sai (com sinal negativo):
Explicando cada termo:
-
é a variação temporal do volume dentro do reservatório; - O lado direito é a vazão de saída, negativa porque o volume diminui.
Passo 6
Resolver a equação diferencial (passo a passo, para ver que
e
variam com o tempo):
- Separe variáveis:
- Integre do instante inicial
(com ) até um tempo qualquer:
- A integral do lado esquerdo dá
. Assim:
- Isolando
:
Portanto
diminui com
(até ficar zero) e é explicitamente função do tempo. Como
, também
é função do tempo.
Passo 7
Conclusão lógica e assertiva (resumindo a evidência matemática e física):
- A equação acima mostra que
e, consequentemente, variam no tempo desde o instante em que o registro é aberto (a menos que haja alguma fonte que mantenha constante). - Assim, o escoamento não é permanente: é transiente. Mesmo que, na prática, a variação seja lenta se o reservatório for muito grande comparado ao orifício, ela existe e caracteriza o escoamento como transiente.
- Observação motivadora: se houvesse uma entrada de água ajustada para manter
constante, aí sim o escoamento seria permanente — é essa diferença na presença/ausência de reposição que decide o caráter do escoamento.
Resposta
Transiente — porque, ao drenar sem reposição, o nível de água
diminui com o tempo e isso faz com que a velocidade e a vazão na saída
variem no tempo; portanto as condições não permanecem constantes.