(5 pontos) Por que, para um escoamento incompressível, a equação da conservação da massa se reduz a uma forma independente do tempo?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, para um escoamento incompressível, a equação da conservação da massa “se reduz a uma forma independente do tempo”. Informações / pedidos que temos:
  • Pede-se uma explicação do passo da equação geral de conservação de massa até a forma que não contém derivada temporal explícita.
  • A hipótese dada é: escoamento incompressível.
  • Não há outros dados numéricos; a resposta deve ser conceitual e com demonstração algébrica a partir da equação de continuidade.

Passo 2

Escrevendo a equação geral de conservação de massa (forma diferencial, Euleriana). Esta é a equação que diz que a massa não se cria nem se destrói localmente:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0.
Explicando cada símbolo devagar:
  • \rho=\rho(\mathbf{x},t) é a densidade da fluido (massa por volume) no ponto \mathbf{x} e tempo t.
  • \mathbf{u}=\mathbf{u}(\mathbf{x},t) é o vetor velocidade do fluido.
  • \nabla\!\cdot(\cdot) é a divergência espacial: mede a taxa líquida de saída de fluxo por unidade de volume.
  • \frac{\partial \rho}{\partial t} é a variação local da densidade com o tempo em um ponto fixo no espaço.

Passo 3

Reescrevendo a equação usando a derivada material (derivada seguindo uma partícula). A derivada material de \rho é
\frac{D\rho}{Dt} \equiv \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho.
Substituindo na equação de continuidade e usando \nabla\!\cdot(\rho\mathbf{u})=\rho\,\nabla\!\cdot\mathbf{u}+\mathbf{u}\cdot\nabla\rho (regra do produto), obtemos:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\,\nabla\!\cdot\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho = 0,
ou seja
\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\nabla\!\cdot\mathbf{u} = 0.
Interpretação: a variação da densidade ao longo de uma partícula mais a expansão/compressão volumétrica ( \nabla\!\cdot\mathbf{u}) deve somar zero para conservar massa.

Passo 4

Definindo “incompressível” e as duas formas comuns dessa hipótese. Existem duas maneiras frequentemente usadas para dizer que um escoamento é incompressível:
  • Forma forte (fluido homogêneo incompressível): a densidade é constante no espaço e no tempo, isto é \rho(\mathbf{x},t)=\rho_0 com \rho_0= constante. Então \frac{D\rho}{Dt}=0 e \frac{\partial\rho}{\partial t}=0.
  • Forma prática (condição de incompressibilidade em termos de velocidade): o escoamento preserva volumes de elementos fluidos, o que dá a condição
\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0.
Ambas as formas estão relacionadas: se \rho é constante (primeira forma), da equação \frac{D\rho}{Dt}+\rho\,\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0 segue imediatamente que \nabla\!\cdot\mathbf{u}=0. Em muitas aplicações de líquidos, assume-se \rho=const como modelo razoável.

Passo 5

Fazendo a redução explícita usando \rho=\rho_0 constante. Partindo da forma geral
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0,
se \rho(\mathbf{x},t)=\rho_0 então \frac{\partial \rho}{\partial t}=0 e \rho sai da divergência:
0 + \nabla\!\cdot(\rho_0\mathbf{u}) = 0 \quad\Rightarrow\quad \rho_0\,\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0.
Como \rho_0 é uma constante não nula, divide-se e obtém-se a forma reduzida:
\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0.
Esta é a forma “independente do tempo” pedida: a equação reduzida não contém \frac{\partial}{\partial t} de \rho nem qualquer outro termo com derivada temporal explícita. É uma condição algébrica (em cada instante) sobre o campo de velocidade.

Passo 6

Explicando fisicamente por que isso acontece (intuição). Incompressível significa que pequenos volumes de fluido não mudam de volume ao se moverem: cada partícula fluidal preserva seu volume. Isso é exatamente a condição de divergência nula: \nabla\!\cdot\mathbf{u}=0 significa “nenhuma fonte nem sumidouro local de volume”. Como a massa de um volume material é \rho\timesvolume e \rho é constante, a massa se conserva automaticamente se o volume não muda; por isso a equação de conservação de massa perde o termo temporal da densidade.

Passo 7

Atenção a um ponto que dá confusão: “equação independente do tempo” ≠ “escoamento estacionário”. A condição \nabla\!\cdot\mathbf{u}=0 não impede que \mathbf{u} dependa explicitamente do tempo. Por exemplo, o campo
\mathbf{u}(\mathbf{x},t)=(\sin t,0,0)
satisfaz \nabla\!\cdot\mathbf{u}=0 mas é claramente dependente de t. Portanto, a equação de continuidade reduzida não contém derivada temporal explícita, mas o campo de velocidade pode ser temporariamente variável — apenas deve permanecer divergência-livre em cada instante.

Passo 8

Resumo prático para a prova (tem que decorar o passo-chave):
  • Comece da continuidade: \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\!\cdot(\rho\mathbf{u})=0.
  • Para fluido incompressível com \rho=\rho_0 constante, reduza a \rho_0\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0 e, portanto,
\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0.
  • Conclusão: a equação de conservação de massa fica sem derivada temporal porque a hipótese “densidade constante” elimina o termo \partial\rho/\partial t; resta apenas a condição de divergência nula, que é uma restrição espacial sobre \mathbf{u} válida em cada instante.

Resposta

Porque, no escoamento incompressível a densidade é constante ao longo do fluido (ou, equivalentemente, o volume de um elemento fluido é conservado), o que faz \frac{\partial\rho}{\partial t}=0 e permite escrever a equação de continuidade
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\!\cdot(\rho\mathbf{u})=0
como
\rho_0\,\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0\quad\Rightarrow\quad\nabla\!\cdot\mathbf{u}=0,
ou seja, uma forma sem derivada temporal explícita (condição de campo divergência-nula).

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