(5 pontos) Por que, para um escoamento incompressível, a equação da conservação da massa se reduz a uma forma independente do tempo?
Passo 1
O enunciado pergunta por que, para um escoamento incompressível, a equação da conservação da massa “se reduz a uma forma independente do tempo”. Informações / pedidos que temos:
- Pede-se uma explicação do passo da equação geral de conservação de massa até a forma que não contém derivada temporal explícita.
- A hipótese dada é: escoamento incompressível.
- Não há outros dados numéricos; a resposta deve ser conceitual e com demonstração algébrica a partir da equação de continuidade.
Passo 2
Escrevendo a equação geral de conservação de massa (forma diferencial, Euleriana). Esta é a equação que diz que a massa não se cria nem se destrói localmente:
Explicando cada símbolo devagar:
-
é a densidade da fluido (massa por volume) no ponto e tempo . -
é o vetor velocidade do fluido. -
é a divergência espacial: mede a taxa líquida de saída de fluxo por unidade de volume. -
é a variação local da densidade com o tempo em um ponto fixo no espaço.
Passo 3
Reescrevendo a equação usando a derivada material (derivada seguindo uma partícula). A derivada material de
é
Substituindo na equação de continuidade e usando
(regra do produto), obtemos:
ou seja
Interpretação: a variação da densidade ao longo de uma partícula mais a expansão/compressão volumétrica (
) deve somar zero para conservar massa.
Passo 4
Definindo “incompressível” e as duas formas comuns dessa hipótese. Existem duas maneiras frequentemente usadas para dizer que um escoamento é incompressível:
- Forma forte (fluido homogêneo incompressível): a densidade é constante no espaço e no tempo, isto é
com constante. Então e . - Forma prática (condição de incompressibilidade em termos de velocidade): o escoamento preserva volumes de elementos fluidos, o que dá a condição
Ambas as formas estão relacionadas: se
é constante (primeira forma), da equação
segue imediatamente que
. Em muitas aplicações de líquidos, assume-se
const como modelo razoável.
Passo 5
Fazendo a redução explícita usando
constante. Partindo da forma geral
se
então
e
sai da divergência:
Como
é uma constante não nula, divide-se e obtém-se a forma reduzida:
Esta é a forma “independente do tempo” pedida: a equação reduzida não contém
de
nem qualquer outro termo com derivada temporal explícita. É uma condição algébrica (em cada instante) sobre o campo de velocidade.
Passo 6
Explicando fisicamente por que isso acontece (intuição). Incompressível significa que pequenos volumes de fluido não mudam de volume ao se moverem: cada partícula fluidal preserva seu volume. Isso é exatamente a condição de divergência nula:
significa “nenhuma fonte nem sumidouro local de volume”. Como a massa de um volume material é
volume e
é constante, a massa se conserva automaticamente se o volume não muda; por isso a equação de conservação de massa perde o termo temporal da densidade.
Passo 7
Atenção a um ponto que dá confusão: “equação independente do tempo” ≠ “escoamento estacionário”. A condição
não impede que
dependa explicitamente do tempo. Por exemplo, o campo
satisfaz
mas é claramente dependente de
. Portanto, a equação de continuidade reduzida não contém derivada temporal explícita, mas o campo de velocidade pode ser temporariamente variável — apenas deve permanecer divergência-livre em cada instante.
Passo 8
Resumo prático para a prova (tem que decorar o passo-chave):
- Comece da continuidade:
. - Para fluido incompressível com
constante, reduza a e, portanto,
- Conclusão: a equação de conservação de massa fica sem derivada temporal porque a hipótese “densidade constante” elimina o termo
; resta apenas a condição de divergência nula, que é uma restrição espacial sobre válida em cada instante.
Resposta
Porque, no escoamento incompressível a densidade é constante ao longo do fluido (ou, equivalentemente, o volume de um elemento fluido é conservado), o que faz
e permite escrever a equação de continuidade
como
ou seja, uma forma sem derivada temporal explícita (condição de campo divergência-nula).