( 30 pontos) Um conjunto cilindro-pistão apresenta 45 g de água a
que ocupa um volume de
. O sistema é, então, submetido a um processo de compressão isotérmica até alcançar um volume de
. Determine o trabalho realizado durante este processo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- massa da água:
. - temperatura:
. - volume inicial:
. - volume final:
. - o processo é isotérmico (temperatura constante).
O que se pede: determinar o trabalho realizado durante o processo de compressão isotérmica.
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê.
Em um processo isotérmico para um gás ideal, a pressão varia com o volume segundo a lei dos gases ideais:
onde
é a pressão,
a massa do gás,
a constante específica do gás,
a temperatura absoluta (em kelvin) e
o volume.
O trabalho realizado pelo sistema (trabalho realizado pela massa de vapor sobre o entorno) durante uma transformação quasistática é
Substituindo
e integrando:
Observação sobre sinal: esta expressão dá o trabalho efetuado pelo sistema. Como aqui
(compressão), o logaritmo será negativo e
será negativo — isto significa que o sistema realiza trabalho negativo (ou seja, trabalho é realizado sobre o sistema).
Nota sobre o modelo: o enunciado dá água ocupando um volume muito grande para a massa indicada, o que sugere que a água está na forma de vapor rarefeito; para este tipo de problema costuma-se tratar o vapor como gás ideal e aplicar a fórmula acima. Vamos prosseguir com essa aproximação.
Passo 3
Preparar os valores numéricos e constantes.
Converter a temperatura para kelvin:
Constante específica do vapor d’água (valor tabulado):
Calcular o produto
:
Faço em duas etapas:
Portanto
.
Passo 4
Calcular o logaritmo e o trabalho.
Calcular o argumento do logaritmo:
Calcular o logaritmo natural:
Agora o trabalho:
Interpretação do sinal:
significa que o sistema (o vapor) realiza \emph{trabalho negativo} durante a compressão; em outras palavras, um trabalho de
é realizado sobre o sistema.
Passo 5
Arredondamento e observações finais.
Com os algarismos significativos dos dados (duas casas nas massas e volumes), pode-se apresentar o resultado com duas casas significativas:
(como trabalho realizado pelo sistema) ou, em módulo,
como trabalho realizado sobre o sistema.
Força final: foi usada a aproximação de gás ideal — para vapor muito rarefeito essa aproximação é boa; se fosse necessário maior rigor (por exemplo perto da saturação) teria que consultar tabelas termodinâmicas do vapor d’água.