( 30 pontos) Um conjunto cilindro-pistão apresenta 45 g de água a 35^{\circ} \mathrm{C} que ocupa um volume de 1,3 \mathrm{~m}^{3}. O sistema é, então, submetido a um processo de compressão isotérmica até alcançar um volume de 0,9 \mathrm{~m}^{3}. Determine o trabalho realizado durante este processo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • massa da água: m=45\\ \text{g}=0,045\\ \text{kg}.
  • temperatura: 35^\circ\mathrm{C}.
  • volume inicial: V_{1}=1{,}3\\ \mathrm{m^{3}}.
  • volume final: V_{2}=0{,}9\\ \mathrm{m^{3}}.
  • o processo é isotérmico (temperatura constante).
O que se pede: determinar o trabalho realizado durante o processo de compressão isotérmica.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê.
Em um processo isotérmico para um gás ideal, a pressão varia com o volume segundo a lei dos gases ideais:
p=\frac{m R T}{V},
onde p é a pressão, m a massa do gás, R a constante específica do gás, T a temperatura absoluta (em kelvin) e V o volume.
O trabalho realizado pelo sistema (trabalho realizado pela massa de vapor sobre o entorno) durante uma transformação quasistática é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,\mathrm{d}V.
Substituindo p=\dfrac{mRT}{V} e integrando:
W=m R T\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{\mathrm{d}V}{V}=m R T\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Observação sobre sinal: esta expressão dá o trabalho efetuado pelo sistema. Como aqui V_{2}<V_{1} (compressão), o logaritmo será negativo e W será negativo — isto significa que o sistema realiza trabalho negativo (ou seja, trabalho é realizado sobre o sistema).
Nota sobre o modelo: o enunciado dá água ocupando um volume muito grande para a massa indicada, o que sugere que a água está na forma de vapor rarefeito; para este tipo de problema costuma-se tratar o vapor como gás ideal e aplicar a fórmula acima. Vamos prosseguir com essa aproximação.

Passo 3

Preparar os valores numéricos e constantes.
Converter a temperatura para kelvin:
T=35^\circ\mathrm{C}=35+273{,}15=308{,}15\\ \mathrm{K}.
Constante específica do vapor d’água (valor tabulado):
R=461{,}5\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
Calcular o produto mRT:
mRT = 0{,}045\cdot 461{,}5\cdot 308{,}15.
Faço em duas etapas:
0{,}045\cdot 461{,}5 = 20{,}7675,
20{,}7675\cdot 308{,}15 = 6\,399{,}505125\\ \mathrm{J}.
Portanto mRT\approx 6\,399{,}505\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular o logaritmo e o trabalho.
Calcular o argumento do logaritmo:
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{0{,}9}{1{,}3}=0{,}692307692\ldots=\frac{9}{13}.
Calcular o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{9}{13}\right)\approx -0{,}36772478.
Agora o trabalho:
W = m R T \ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) \approx 6\,399{,}505125\cdot(-0{,}36772478) \approx -2\,353{,}26\\ \mathrm{J}.
Interpretação do sinal: W\approx -2{,}35\times10^{3}\\ \mathrm{J} significa que o sistema (o vapor) realiza \emph{trabalho negativo} durante a compressão; em outras palavras, um trabalho de 2{,}35\times10^{3}\\ \mathrm{J} é realizado sobre o sistema.

Passo 5

Arredondamento e observações finais.
Com os algarismos significativos dos dados (duas casas nas massas e volumes), pode-se apresentar o resultado com duas casas significativas:
W\approx -2{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{J}
(como trabalho realizado pelo sistema) ou, em módulo, 2{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{J} como trabalho realizado sobre o sistema.
Força final: foi usada a aproximação de gás ideal — para vapor muito rarefeito essa aproximação é boa; se fosse necessário maior rigor (por exemplo perto da saturação) teria que consultar tabelas termodinâmicas do vapor d’água.

Resposta

W_{\text{(pelo sistema)}} \approx -2{,}35\times10^{3}\\ \text{J}
W_{\text{(sobre o sistema)}} \approx +2{,}35\times10^{3}\\ \text{J}

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