Um fluido escoa em um tubo horizontal com velocidade média de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Uma partícula de tinta é injetada no fluido para observar seu movimento.
a) Defina os conceitos de linha de corrente, linha de emissão e trajetória.
b) Calcule o tempo necessário para que a partícula percorra 5 metros no tubo.
c) Desenhe um esquema representando as três linhas (corrente, emissão e trajetória) em um escoamento estacionário e explique suas diferenças.
d) Qual a diferença em linha de emissão e trajetória?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • Escoamento em um tubo horizontal com velocidade média \,2\\ \mathrm{m/s}.
    • Uma partícula de tinta é injetada no fluido para observar o movimento.
    • Distância a ser percorrida pela partícula: 5\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    a) Definir os conceitos de linha de corrente, linha de emissão e trajetória.
    b) Calcular o tempo necessário para que a partícula percorra 5\\ \mathrm{m}.
    c) Desenhar um esquema representando as três linhas em um escoamento estacionário e explicar as diferenças.
    d) Explicar a diferença entre linha de emissão e trajetória.

Passo 2

Definição formal e didática de cada conceito (vou explicar devagar e de forma prática).
Linha de corrente (streamline)
  • Definição matemática: é uma curva no campo de velocidade tal que em um instante fixo t_0 a velocidade do fluido é tangente em cada ponto da curva. Se paramos a curva por um parâmetro s e escrevemos sua posição como \mathbf{r}(s), então ela satisfaz
\frac{d\mathbf{r}}{ds} = \mathbf{v}\bigl(\mathbf{r}(s),\,t_0\bigr),
onde \mathbf{v}(\mathbf{x},t) é o campo de velocidades ( \mathbf{x} = posição no espaço, t = tempo).
  • O que isso significa em palavras: pegue um instante do escoamento e desenhe linhas que em cada ponto apontem na mesma direção que a velocidade naquele instante. Essas linhas mostram a direção instantânea do fluxo; elas não contam a história de partículas.
Trajetória (pathline)
  • Definição matemática: é a linha percorrida por uma única partícula material com condição inicial \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0. É obtida resolvendo a EDO
\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{v}(\mathbf{x}(t),t),\qquad \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0.
  • Em palavras: marque um grão de tinta e siga exatamente onde ele vai ao longo do tempo; a curva obtida é a trajetória do grão.
Linha de emissão (streakline)
  • Definição matemática/prática: é o conjunto de posições, em um tempo dado t, de todas as partículas que foram liberadas de um mesmo ponto de emissão \mathbf{x}_s em instantes anteriores \tau\le t. Formalmente, se \mathbf{X}(t;\tau) é a posição no tempo t da partícula que foi liberada em \tau em \mathbf{x}_s (isto é, \mathbf{X}(\tau;\tau)=\mathbf{x}_s), então a linha de emissão em t é o conjunto \{\mathbf{X}(t;\tau)\,:\,\tau\le t\}.
  • Em palavras: é o “rastro” que aparece quando se injeta continuamente tinta num ponto fixo — aquilo que você vê numa experiência prática como uma fita de tinta.

Passo 3

Relação entre as três linhas em escoamento estacionário (importante para a parte (c)).
  • Escoamento estacionário significa que o campo de velocidades não depende do tempo: \mathbf{v}(\mathbf{x},t)=\mathbf{v}(\mathbf{x}).
  • Consequência para trajetórias: a EDO das trajetórias fica autônoma,
\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{v}(\mathbf{x}),
cuja solução são curvas integrais do campo \mathbf{v}. Essas curvas integrais são exatamente as linhas que obedecem \dfrac{d\mathbf{r}}{ds}=\mathbf{v}(\mathbf{r}), ou seja, as linhas de corrente do instante qualquer. Portanto, em escoamento estacionário cada trajetória coincide com uma linha de corrente (a partícula percorre uma linha de corrente).
  • Consequência para linhas de emissão: se a emissão é contínua em um ponto fixo, cada partícula emitida segue a mesma linha de corrente (porque o campo não muda no tempo), então o conjunto dessas partículas (a linha de emissão) também fica sobre a mesma curva.
  • Conclusão: em escoamento estacionário streamline = pathline = streakline (todas coincidem).

Passo 4

Cálculo do tempo pedido na parte (b).
  • Fórmula básica: tempo é distância dividido por velocidade média. Se a partícula percorre uma distância L em um escoamento com velocidade média U (assumindo que a partícula se move com a velocidade média do escoamento no tubo), então
t=\frac{L}{U}.
  • Identificação das quantidades do enunciado: L=5\\ \mathrm{m} (distância dada) e U=2\\ \mathrm{m/s} (velocidade média dada).
  • Substituindo:
t=\frac{5}{2}=\;2{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Interpretação: em cerca de 2{,}5\\ \mathrm{s} o grão de tinta percorre 5\\ \mathrm{m} ao longo do tubo, assumindo velocidade média constante 2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Instruções passo a passo para desenhar o esquema pedido em (c) (faça à mão rápida na folha da prova):
  1. Desenhe um tubo horizontal (dois traços paralelos horizontais) e uma série de setas ao longo do eixo do tubo apontando para a direita para representar o sentido e a uniformidade do fluxo. Escreva \mathbf{v}=2\\ \mathrm{m/s} próximo às setas.
  2. Escolha um ponto de injeção na parede superior do tubo e marque com um pequeno círculo e a etiqueta S (ponto de emissão).
  3. Desenhe uma linha reta ao longo do centro do fluxo, paralela ao eixo do tubo — essa é uma linha de corrente (em escoamento estacionário essa linha é retilínea se o perfil for uniforme). Coloque uma seta ao longo dela indicando a direção do fluxo.
  4. Desenhe a trajetória de uma partícula (pequeno ponto inicial na posição do fluido, depois trace a mesma linha reta ininterrupta para a direita) e rotule como “trajetória de uma partícula”. Em escoamento estacionário ela coincide com a linha de corrente.
  5. Desenhe a linha de emissão: como a tinta é emitida continuamente em S, marque uma fita contínua saindo de S seguindo exatamente a mesma reta — rotule como “linha de emissão (streakline)”. Em escoamento estacionário ela também coincide com as anteriores.
  6. Ao lado do desenho escreva uma legenda curta: “Em escoamento estacionário: linha de corrente = trajetória = linha de emissão.”
  • Observação prática: se o escoamento fosse não estacionário, a linha de emissão normalmente apareceria como um rastro possivelmente curvo ou ondulado, diferente das trajetórias individuais.

Passo 6

Explicação clara e comparativa das diferenças (respondo também (d) de forma aprofundada, com exemplo mental).
  • Linha de emissão vs trajetória (diferença essencial):
    • Trajetória (pathline): é a história de uma única partícula — começa quando a partícula é seguida e mostra onde ela esteve em todos os instantes. É solução da EDO \dfrac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{v}(\mathbf{x},t) para condições iniciais dadas.
    • Linha de emissão (streakline): é o conjunto de posições, num mesmo instante t, de todas as partículas que foram emitidas a partir de um ponto fixo em tempos diversos. É o que a tinta contínua mostra visualmente.
  • Por que são diferentes em escoamento não estacionário: imagine que o vento muda de intensidade com o tempo. Uma partícula lançada agora seguirá um caminho determinado pelas condições futuras; outra partícula lançada depois pode “sentir” um vento diferente e seguir um caminho diferente. A linha de emissão reúne as posições atuais de todas essas partículas lançadas em instantes distintos — ela reflete a história das condições ao longo do período de emissão. A trajetória de uma única partícula não dá essa coleção temporal de condições.
  • Exemplo mental simples: jato de fumaça de uma chaminé numa tarde com rajadas: a fita de fumaça (linha de emissão) mostra as rajadas que ocorreram ao longo do tempo; escolher um átomo de fumaça e seguir sua trajetória dá apenas o caminho desse átomo, que pode ter sido lançado numa rajada específica e ter seguido um percurso diferente do rastro total.
  • Regra prática curta: em escoamento estacionário todas coincidem; em escoamento não estacionário, geralmente são diferentes — pense: trajetória = “vou seguindo um grão”, linha de emissão = “vejo a fita formada por todos os grãos saídos daquele ponto ao longo do tempo”.

Passo 7

Resumo final e incentivo amigo:
  • Tempo para percorrer 5\\ \mathrm{m}: 2{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Conceitos: memorize que streamline = direção instantânea do campo; pathline = percurso de um grão; streakline = rastro de uma fonte fixa.
  • Se estiver nervoso na prova: desenhe o tubo, marque o ponto de emissão, escreva as definições curtas ao lado e faça o cálculo simples t=L/U. Você já chegou lá — isso é direto e cai bem em prova!

Resposta

a) Linha de corrente: curva cuja tangente em cada ponto coincide com a direção instantânea da velocidade, ou seja, \dfrac{d\mathbf{r}}{ds}=\mathbf{v}(\mathbf{r}(s),t_0). Linha de emissão: conjunto de posições, num tempo t, de todas as partículas liberadas de um mesmo ponto \mathbf{x}_s em tempos \tau\le t (o rastro que a tinta contínua forma). Trajetória: curva seguida por uma única partícula, solução da EDO \dfrac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{v}(\mathbf{x}(t),t) com \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0.
b) t=\dfrac{5}{2}=2{,}5\\ \mathrm{s}.
c) Em escoamento estacionário as três linhas coincidem (podem ser desenhadas como a mesma linha paralela ao eixo do tubo); esboço: tubo horizontal com setas de velocidade, ponto de emissão S e uma única curva retilínea rotulada simultaneamente como linha de corrente, trajetória e linha de emissão.
d) Diferença: trajetória é o caminho de uma única partícula ao longo do tempo; linha de emissão é o rastro, num mesmo instante, formado por todas as partículas emitidas de um ponto fixo em instantes distintos. Em escoamento estacionário elas coincidem; em escoamento não estacionário geralmente diferem.

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