Um fluido escoa em um tubo horizontal com velocidade média de
. Uma partícula de tinta é injetada no fluido para observar seu movimento.
a) Defina os conceitos de linha de corrente, linha de emissão e trajetória.
b) Calcule o tempo necessário para que a partícula percorra 5 metros no tubo.
c) Desenhe um esquema representando as três linhas (corrente, emissão e trajetória) em um escoamento estacionário e explique suas diferenças.
d) Qual a diferença em linha de emissão e trajetória?
a) Defina os conceitos de linha de corrente, linha de emissão e trajetória.
b) Calcule o tempo necessário para que a partícula percorra 5 metros no tubo.
c) Desenhe um esquema representando as três linhas (corrente, emissão e trajetória) em um escoamento estacionário e explique suas diferenças.
d) Qual a diferença em linha de emissão e trajetória?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informações dadas:
- Escoamento em um tubo horizontal com velocidade média
. - Uma partícula de tinta é injetada no fluido para observar o movimento.
- Distância a ser percorrida pela partícula:
.
- Escoamento em um tubo horizontal com velocidade média
- Perguntas:
a) Definir os conceitos de linha de corrente, linha de emissão e trajetória.
b) Calcular o tempo necessário para que a partícula percorra.
c) Desenhar um esquema representando as três linhas em um escoamento estacionário e explicar as diferenças.
d) Explicar a diferença entre linha de emissão e trajetória.
Passo 2
Definição formal e didática de cada conceito (vou explicar devagar e de forma prática).
Linha de corrente (streamline)
- Definição matemática: é uma curva no campo de velocidade tal que em um instante fixo
a velocidade do fluido é tangente em cada ponto da curva. Se paramos a curva por um parâmetro e escrevemos sua posição como , então ela satisfaz
onde
é o campo de velocidades (
= posição no espaço,
= tempo).
- O que isso significa em palavras: pegue um instante do escoamento e desenhe linhas que em cada ponto apontem na mesma direção que a velocidade naquele instante. Essas linhas mostram a direção instantânea do fluxo; elas não contam a história de partículas.
Trajetória (pathline)
- Definição matemática: é a linha percorrida por uma única partícula material com condição inicial
. É obtida resolvendo a EDO
- Em palavras: marque um grão de tinta e siga exatamente onde ele vai ao longo do tempo; a curva obtida é a trajetória do grão.
Linha de emissão (streakline)
- Definição matemática/prática: é o conjunto de posições, em um tempo dado
, de todas as partículas que foram liberadas de um mesmo ponto de emissão em instantes anteriores . Formalmente, se é a posição no tempo da partícula que foi liberada em em (isto é, ), então a linha de emissão em é o conjunto . - Em palavras: é o “rastro” que aparece quando se injeta continuamente tinta num ponto fixo — aquilo que você vê numa experiência prática como uma fita de tinta.
Passo 3
Relação entre as três linhas em escoamento estacionário (importante para a parte (c)).
- Escoamento estacionário significa que o campo de velocidades não depende do tempo:
. - Consequência para trajetórias: a EDO das trajetórias fica autônoma,
cuja solução são curvas integrais do campo
. Essas curvas integrais são exatamente as linhas que obedecem
, ou seja, as linhas de corrente do instante qualquer. Portanto, em escoamento estacionário cada trajetória coincide com uma linha de corrente (a partícula percorre uma linha de corrente).
- Consequência para linhas de emissão: se a emissão é contínua em um ponto fixo, cada partícula emitida segue a mesma linha de corrente (porque o campo não muda no tempo), então o conjunto dessas partículas (a linha de emissão) também fica sobre a mesma curva.
- Conclusão: em escoamento estacionário streamline = pathline = streakline (todas coincidem).
Passo 4
Cálculo do tempo pedido na parte (b).
- Fórmula básica: tempo é distância dividido por velocidade média. Se a partícula percorre uma distância
em um escoamento com velocidade média (assumindo que a partícula se move com a velocidade média do escoamento no tubo), então
- Identificação das quantidades do enunciado:
(distância dada) e (velocidade média dada). - Substituindo:
- Interpretação: em cerca de
o grão de tinta percorre ao longo do tubo, assumindo velocidade média constante .
Passo 5
Instruções passo a passo para desenhar o esquema pedido em (c) (faça à mão rápida na folha da prova):
- Desenhe um tubo horizontal (dois traços paralelos horizontais) e uma série de setas ao longo do eixo do tubo apontando para a direita para representar o sentido e a uniformidade do fluxo. Escreva
próximo às setas. - Escolha um ponto de injeção na parede superior do tubo e marque com um pequeno círculo e a etiqueta
(ponto de emissão). - Desenhe uma linha reta ao longo do centro do fluxo, paralela ao eixo do tubo — essa é uma linha de corrente (em escoamento estacionário essa linha é retilínea se o perfil for uniforme). Coloque uma seta ao longo dela indicando a direção do fluxo.
- Desenhe a trajetória de uma partícula (pequeno ponto inicial na posição do fluido, depois trace a mesma linha reta ininterrupta para a direita) e rotule como “trajetória de uma partícula”. Em escoamento estacionário ela coincide com a linha de corrente.
- Desenhe a linha de emissão: como a tinta é emitida continuamente em
, marque uma fita contínua saindo de seguindo exatamente a mesma reta — rotule como “linha de emissão (streakline)”. Em escoamento estacionário ela também coincide com as anteriores. - Ao lado do desenho escreva uma legenda curta: “Em escoamento estacionário: linha de corrente = trajetória = linha de emissão.”
- Observação prática: se o escoamento fosse não estacionário, a linha de emissão normalmente apareceria como um rastro possivelmente curvo ou ondulado, diferente das trajetórias individuais.
Passo 6
Explicação clara e comparativa das diferenças (respondo também (d) de forma aprofundada, com exemplo mental).
- Linha de emissão vs trajetória (diferença essencial):
- Trajetória (pathline): é a história de uma única partícula — começa quando a partícula é seguida e mostra onde ela esteve em todos os instantes. É solução da EDO
para condições iniciais dadas. - Linha de emissão (streakline): é o conjunto de posições, num mesmo instante
, de todas as partículas que foram emitidas a partir de um ponto fixo em tempos diversos. É o que a tinta contínua mostra visualmente.
- Trajetória (pathline): é a história de uma única partícula — começa quando a partícula é seguida e mostra onde ela esteve em todos os instantes. É solução da EDO
- Por que são diferentes em escoamento não estacionário: imagine que o vento muda de intensidade com o tempo. Uma partícula lançada agora seguirá um caminho determinado pelas condições futuras; outra partícula lançada depois pode “sentir” um vento diferente e seguir um caminho diferente. A linha de emissão reúne as posições atuais de todas essas partículas lançadas em instantes distintos — ela reflete a história das condições ao longo do período de emissão. A trajetória de uma única partícula não dá essa coleção temporal de condições.
- Exemplo mental simples: jato de fumaça de uma chaminé numa tarde com rajadas: a fita de fumaça (linha de emissão) mostra as rajadas que ocorreram ao longo do tempo; escolher um átomo de fumaça e seguir sua trajetória dá apenas o caminho desse átomo, que pode ter sido lançado numa rajada específica e ter seguido um percurso diferente do rastro total.
- Regra prática curta: em escoamento estacionário todas coincidem; em escoamento não estacionário, geralmente são diferentes — pense: trajetória = “vou seguindo um grão”, linha de emissão = “vejo a fita formada por todos os grãos saídos daquele ponto ao longo do tempo”.
Passo 7
Resumo final e incentivo amigo:
- Tempo para percorrer
: . - Conceitos: memorize que streamline = direção instantânea do campo; pathline = percurso de um grão; streakline = rastro de uma fonte fixa.
- Se estiver nervoso na prova: desenhe o tubo, marque o ponto de emissão, escreva as definições curtas ao lado e faça o cálculo simples
. Você já chegou lá — isso é direto e cai bem em prova!
Resposta
a) Linha de corrente: curva cuja tangente em cada ponto coincide com a direção instantânea da velocidade, ou seja,
. Linha de emissão: conjunto de posições, num tempo
, de todas as partículas liberadas de um mesmo ponto
em tempos
(o rastro que a tinta contínua forma). Trajetória: curva seguida por uma única partícula, solução da EDO
com
.
b) .
c) Em escoamento estacionário as três linhas coincidem (podem ser desenhadas como a mesma linha paralela ao eixo do tubo); esboço: tubo horizontal com setas de velocidade, ponto de emissão e uma única curva retilínea rotulada simultaneamente como linha de corrente, trajetória e linha de emissão.
d) Diferença: trajetória é o caminho de uma única partícula ao longo do tempo; linha de emissão é o rastro, num mesmo instante, formado por todas as partículas emitidas de um ponto fixo em instantes distintos. Em escoamento estacionário elas coincidem; em escoamento não estacionário geralmente diferem.
b)
c) Em escoamento estacionário as três linhas coincidem (podem ser desenhadas como a mesma linha paralela ao eixo do tubo); esboço: tubo horizontal com setas de velocidade, ponto de emissão
d) Diferença: trajetória é o caminho de uma única partícula ao longo do tempo; linha de emissão é o rastro, num mesmo instante, formado por todas as partículas emitidas de um ponto fixo em instantes distintos. Em escoamento estacionário elas coincidem; em escoamento não estacionário geralmente diferem.