Sejam a, b e c vetores. Determine os escalares \mathbf{f} \mathbf{~ e ~} \mathbf{g}, tais que:
(a \times b) \times c=f b-g a

Passo 1

O enunciado dá três vetores a, b e c (vetores no espaço tridimensional) e pede para determinar escalares f e g tais que
(a\times b)\times c = f\,b - g\,a.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores a, b, c são arbitrários (não há nenhuma hipótese extra).
  • A expressão à esquerda é um produto vetorial duplo: primeiro a\times b, depois o produto desse resultado por c.
  • A incógnita são os escalares f e g que tornam verdadeira a igualdade acima.

Passo 2

Observação prática que facilita a solução: o vetor (a\times b)\times c é perpendicular a a\times b (porque é um produto vetorial envolvendo a\times b). Um vetor perpendicular a a\times b pertence ao plano gerado por a e b. Logo existe representação linear
(a\times b)\times c = s\,a + t\,b
para certos escalares s e t. Note que a forma pedida no enunciado, f\,b - g\,a, é exatamente uma combinação linear de a e b; portanto basta determinar esses coeficientes. Mais precisamente podemos escrever, reordenando os coeficientes,
(a\times b)\times c = -g\,a + f\,b,
então basta encontrar f e g equivalentes a t e -s.
Explicando a ideia: para encontrar s e t basta fazer produto escalar da igualdade por a e por b, obtendo um sistema linear 2×2 em s e t.

Passo 3

Defina
X=(a\times b)\times c \qquad\text{e}\qquad X = s\,a + t\,b.
Fazendo produto escalar com a temos
X\cdot a = s\,(a\cdot a) + t\,(b\cdot a).
Agora calculamos X\cdot a de outra forma usando identidades do produto vetorial. Usa-se a identidade escalar-cíclica (u\times v)\cdot w = u\cdot(v\times w). Assim,
X\cdot a = \big((a\times b)\times c\big)\cdot a = (a\times b)\cdot(c\times a).
Outra identidade útil (produto escalar de dois produtos vetoriais) é
(u\times v)\cdot(w\times z) = (u\cdot w)(v\cdot z) - (u\cdot z)(v\cdot w).
Aplicando essa identidade com u=a, v=b, w=c, z=a obtemos
(a\times b)\cdot(c\times a) = (a\cdot c)(b\cdot a) - (a\cdot a)(b\cdot c).
Portanto a equação obtida pelo produto escalar com a é
s\,(a\cdot a) + t\,(a\cdot b) = (a\cdot c)(a\cdot b) - (a\cdot a)(b\cdot c).

Passo 4

Agora fazemos produto escalar com b. Pela mesma ideia,
X\cdot b = s\,(a\cdot b) + t\,(b\cdot b).
Usando as mesmas identidades obtemos
X\cdot b = \big((a\times b)\times c\big)\cdot b = (a\times b)\cdot(c\times b).
E aplicando a identidade do produto escalar de produtos vetoriais com u=a, v=b, w=c, z=b:
(a\times b)\cdot(c\times b) = (a\cdot c)(b\cdot b) - (a\cdot b)(b\cdot c).
Logo a segunda equação do sistema é
s\,(a\cdot b) + t\,(b\cdot b) = (a\cdot c)(b\cdot b) - (a\cdot b)(b\cdot c).

Passo 5

Para simplificar a notação, deixe
A = a\cdot a,\quad B = a\cdot b,\quad C = b\cdot b,\quad p = a\cdot c,\quad q = b\cdot c.
O sistema para s\) e \(t\) fica \[\begin{cases} sA + tB = pB - A q,\\[4pt] sB + tC = pC - B q. \end{cases}
Resolvendo esse sistema subtraindo a segunda equação multiplicada por B\] da primeira multiplicada por \(C (eliminação), temos
s(AC-B^2) = -q(AC-B^2).
Se AC-B^2\neq 0 (caso genérico em que a e b não são colineares) segue
s = -q = - (b\cdot c).
De forma análoga, eliminando s e resolvendo para t obtém-se
t = p = a\cdot c.]

Passo 6

Interpretação dos resultados e caso degenerado: achamos
(a\times b)\times c = s\,a + t\,b = - (b\cdot c)\,a + (a\cdot c)\,b.
Portanto comparando com a forma pedida f\,b - g\,a obtemos
f = a\cdot c,\qquad g = b\cdot c.
No caso degenerado em que a e b são colineares temos a\times b=0 e o lado esquerdo é o vetor nulo; do mesmo modo b(a\cdot c)-a(b\cdot c)=0 quando b=\lambda a, então a fórmula acima continua válida (os coeficientes produzem o vetor nulo), portanto não há contradição.

Resposta

f = a\cdot c
g = b\cdot c

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