Sejam a, b e c vetores. Determine os escalares
, tais que:
Passo 1
O enunciado dá três vetores
,
e
(vetores no espaço tridimensional) e pede para determinar escalares
e
tais que
Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores
, , são arbitrários (não há nenhuma hipótese extra). - A expressão à esquerda é um produto vetorial duplo: primeiro
, depois o produto desse resultado por . - A incógnita são os escalares
e que tornam verdadeira a igualdade acima.
Passo 2
Observação prática que facilita a solução: o vetor
é perpendicular a
(porque é um produto vetorial envolvendo
). Um vetor perpendicular a
pertence ao plano gerado por
e
. Logo existe representação linear
para certos escalares
e
. Note que a forma pedida no enunciado,
, é exatamente uma combinação linear de
e
; portanto basta determinar esses coeficientes. Mais precisamente podemos escrever, reordenando os coeficientes,
então basta encontrar
e
equivalentes a
e
.
Explicando a ideia: para encontrar
e
basta fazer produto escalar da igualdade por
e por
, obtendo um sistema linear 2×2 em
e
.
Passo 3
Defina
Fazendo produto escalar com
temos
Agora calculamos
de outra forma usando identidades do produto vetorial. Usa-se a identidade escalar-cíclica
. Assim,
Outra identidade útil (produto escalar de dois produtos vetoriais) é
Aplicando essa identidade com
,
,
,
obtemos
Portanto a equação obtida pelo produto escalar com
é
Passo 4
Agora fazemos produto escalar com
. Pela mesma ideia,
Usando as mesmas identidades obtemos
E aplicando a identidade do produto escalar de produtos vetoriais com
,
,
,
:
Logo a segunda equação do sistema é
Passo 5
Para simplificar a notação, deixe
O sistema para
Resolvendo esse sistema subtraindo a segunda equação multiplicada por
(eliminação), temos
Se
(caso genérico em que
e
não são colineares) segue
De forma análoga, eliminando
e resolvendo para
obtém-se
Passo 6
Interpretação dos resultados e caso degenerado: achamos
Portanto comparando com a forma pedida
obtemos
No caso degenerado em que
e
são colineares temos
e o lado esquerdo é o vetor nulo; do mesmo modo
quando
, então a fórmula acima continua válida (os coeficientes produzem o vetor nulo), portanto não há contradição.