- (30 pontos) A curva tensão deformação de um material de um duto submarino de diâmetro
e espessura
é aproximada da seguinte forma (bi-linear):
Antes de ser apoiado completamente no leito marinho, durante a instalação, o duto (alagado) é submetido a uma curvatura de flexão excessiva
onde
é a curvatura associada ao escoamento inicial do duto. Calcule o diferencial de pressão máximo
a que o duto pode ser submetido em operação para que o material não escoe novamente, considerando:
a) Encruamento isotrópico ( 15 pontos).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados do enunciado:
- Tubo (duto) de diâmetro externo
onde
é a tensão de escoamento inicial e
é a rigidez tangente no regime plastificado (encruamento). - Durante a instalação, o duto foi submetido a uma curvatura de flexão
tal que , sendo a curvatura associada ao escoamento inicial. - Em operação haverá um diferencial de pressão
que gera esforços no duto.
- Tubo (duto) de diâmetro externo
onde
é a tensão de escoamento inicial e
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor máximo de
(em função dos dados conhecidos) que o duto pode suportar em operação sem que o material escoe novamente, considerando encruamento isotrópico.]
- Determinar o valor máximo de
Passo 2
Explicação das fórmulas e conceitos que vamos usar (cada símbolo explicado) — isso é importante para você aplicar na prova.
-
Curvatura e deformação por flexão:
- Para uma flexão com curvatura
a deformação axial na fibra mais externa (fibras mais distantes do eixo neutro) a uma distância do eixo neutro é . - Para um tubo circular fino a fibra externa está aproximadamente a
. Logo a deformação máxima causada pela curvatura é - A curvatura de escoamento
corresponde àquela que gera a deformação elástica limite , daí
- Para uma flexão com curvatura
-
Lei bilinear (interpretando cada trecho):
- Para
a resposta é elástica linear: . - Para
a curva segue com tangente e a partir do ponto temos, rearranjando, - Aqui
.
- Para
-
Encruamento isotrópico (ideia-chave):
- Em encruamento isotrópico, quando o material sofreu escoamento plástico até uma tensão máxima
, a “limite de escoamento” efetiva para carregamentos posteriores aumenta de modo uniforme; para recarregar na mesma direção é preciso atingir novamente essa tensão máxima antes de ocorrer novo escoamento plástico adicional. Em outras palavras, após ter sido plastificado até , o novo nível de tensão a partir do qual ocorre nova plasticidade (no mesmo sentido) é . - Consequência prática: se, depois da flexão plástica, um carregamento adicional gerar uma tensão uniaxial (ou componente equivalente) maior que
, então ocorrerá novo escoamento.
- Em encruamento isotrópico, quando o material sofreu escoamento plástico até uma tensão máxima
-
Tensão circunferencial (hoop) causada por diferencial de pressão num cilindro fino:
- Fórmula clássica (P
restrições): a tensão circunferencial devido a é - Notas:
, diâmetro médio aproximado, e utilizamos aproximação de casca fina.
- Fórmula clássica (P
Resumo do método que aplicaremos (sem resolver ainda): calcular a tensão máxima
atingida pelo material durante a flexão com curvatura
; então exigir que a tensão circunferencial
produzida por
não ultrapasse
(porque encruamento isotrópico eleva o limite de escoamento até
). Assim obteremos
.
Passo 3
Calcular a deformação máxima durante a flexão excessiva e verificar que houve plastificação.
- Deformação máxima na fibra externa durante a curvatura
: Como e , tem-se , ou seja houve escoamento plástico.
Passo 4
Determinar a tensão máxima
atingida naquele ponto extremo durante o carregamento monotônico por flexão usando a lei bilinear.
- Pela relação do trecho plastificado:
- Substituindo
e , obtemos - Essa
é a tensão máxima alcançada na fibra durante a flexão.
Passo 5
Raciocínio sobre re-escoamento com encruamento isotrópico e condição para evitar novo escoamento.
- Pelo encruamento isotrópico explicado antes, após o carregamento plástico até
e posterior descarregamento parcial, o novo nível de tensão a partir do qual ocorrerá novo escoamento (no mesmo sentido) é a tensão máxima já atingida, isto é . - Portanto, para que o carregamento por pressão não provoque novo escoamento, a tensão equivalente introduzida pela pressão (aqui usamos a componente circunferencial como controlador) deve satisfazer
Passo 6
Substituir a expressão de
e resolver para
.
- Como
e exigimos , temos - Assim
- Substituindo a expressão de
do Passo 4:
Passo 7
Simplificar a expressão final (de forma a ficar mais limpa e de fácil memorização).
- Desenvolvendo o parêntese:
- Observando que
, a expressão fica - Ambas as formas são equivalentes; a forma expandida mostra claramente os termos de contribuição (um termo proporcional a
e um termo proporcional a ).
Resposta
ou, equivalentemente,