1. (30 pontos) A curva tensão deformação de um material de um duto submarino de diâmetro D e espessura t(D \gg t) é aproximada da seguinte forma (bi-linear):
\varepsilon=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sigma}{E} & \sigma \leq \sigma_{o} \\\ \frac{\sigma_{o}}{E}+\frac{1}{E_{T}}\left(\sigma-\sigma_{o}\right) & \sigma>\sigma_{o} \end{array}\right.
Antes de ser apoiado completamente no leito marinho, durante a instalação, o duto (alagado) é submetido a uma curvatura de flexão excessiva k_{1}>k_{o} onde k_{o} é a curvatura associada ao escoamento inicial do duto. Calcule o diferencial de pressão máximo \left(\Delta P=\left|P_{i}-P_{e}\right|\right) a que o duto pode ser submetido em operação para que o material não escoe novamente, considerando:
a) Encruamento isotrópico ( 15 pontos).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Tubo (duto) de diâmetro externo D\) e espessura \(t\) com \(D\gg t\). - Curva tensão-deformação aproximada bilinear: \[\varepsilon=\begin{cases} \dfrac{\sigma}{E}, & \sigma\le \sigma_{o},\\[6pt] \dfrac{\sigma_{o}}{E}+\dfrac{1}{E_{T}}\left(\sigma-\sigma_{o}\right), & \sigma>\sigma_{o}, \end{cases}onde E\] é o módulo de elasticidade linear, \(\sigma_{o} é a tensão de escoamento inicial e E_{T} é a rigidez tangente no regime plastificado (encruamento).
    • Durante a instalação, o duto foi submetido a uma curvatura de flexão k_{1} tal que k_{1}>k_{o}, sendo k_{o} a curvatura associada ao escoamento inicial.
    • Em operação haverá um diferencial de pressão \Delta P=\left|P_{i}-P_{e}\right| que gera esforços no duto.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o valor máximo de \Delta P (em função dos dados conhecidos) que o duto pode suportar em operação sem que o material escoe novamente, considerando encruamento isotrópico.]

Passo 2

Explicação das fórmulas e conceitos que vamos usar (cada símbolo explicado) — isso é importante para você aplicar na prova.
  1. Curvatura e deformação por flexão:
    • Para uma flexão com curvatura k a deformação axial na fibra mais externa (fibras mais distantes do eixo neutro) a uma distância y do eixo neutro é \varepsilon_b = k\,y.
    • Para um tubo circular fino a fibra externa está aproximadamente a y=D/2. Logo a deformação máxima causada pela curvatura k é \varepsilon_{1}=k\,\frac{D}{2}.
    • A curvatura de escoamento k_{o} corresponde àquela que gera a deformação elástica limite \varepsilon_{o}=\dfrac{\sigma_{o}}{E}, daí k_{o}=\frac{2\varepsilon_{o}}{D}=\frac{2\sigma_{o}}{E D}.
  2. Lei bilinear (interpretando cada trecho):
    • Para \sigma\le\sigma_{o} a resposta é elástica linear: \varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}.
    • Para \sigma>\sigma_{o} a curva segue com tangente E_{T} e a partir do ponto (\varepsilon_{o},\sigma_{o}) temos, rearranjando, \sigma=\sigma_{o}+E_{T}\,(\varepsilon-\varepsilon_{o}).
    • Aqui \varepsilon_{o}=\dfrac{\sigma_{o}}{E}.
  3. Encruamento isotrópico (ideia-chave):
    • Em encruamento isotrópico, quando o material sofreu escoamento plástico até uma tensão máxima \sigma_{1}, a “limite de escoamento” efetiva para carregamentos posteriores aumenta de modo uniforme; para recarregar na mesma direção é preciso atingir novamente essa tensão máxima \sigma_{1} antes de ocorrer novo escoamento plástico adicional. Em outras palavras, após ter sido plastificado até \sigma_{1}, o novo nível de tensão a partir do qual ocorre nova plasticidade (no mesmo sentido) é \sigma_{1}.
    • Consequência prática: se, depois da flexão plástica, um carregamento adicional gerar uma tensão uniaxial (ou componente equivalente) maior que \sigma_{1}, então ocorrerá novo escoamento.
  4. Tensão circunferencial (hoop) causada por diferencial de pressão num cilindro fino:
    • Fórmula clássica (P \!\ll restrições): a tensão circunferencial devido a \Delta P é \sigma_{\theta}=\frac{\Delta P\,D}{2t}.
    • Notas: \Delta P=\left|P_{i}-P_{e}\right|, D diâmetro médio aproximado, e utilizamos aproximação de casca fina.
Resumo do método que aplicaremos (sem resolver ainda): calcular a tensão máxima \sigma_{1} atingida pelo material durante a flexão com curvatura k_{1}; então exigir que a tensão circunferencial \sigma_{\theta} produzida por \Delta P não ultrapasse \sigma_{1} (porque encruamento isotrópico eleva o limite de escoamento até \sigma_{1}). Assim obteremos \Delta P_{\max}.

Passo 3

Calcular a deformação máxima durante a flexão excessiva e verificar que houve plastificação.
  • Deformação máxima na fibra externa durante a curvatura k_{1}: \varepsilon_{1}=k_{1}\,\frac{D}{2}.Como k_{1}>k_{o} e k_{o}=\dfrac{2\sigma_{o}}{E D}, tem-se \varepsilon_{1}>\varepsilon_{o}=\dfrac{\sigma_{o}}{E}, ou seja houve escoamento plástico.

Passo 4

Determinar a tensão máxima \sigma_{1} atingida naquele ponto extremo durante o carregamento monotônico por flexão usando a lei bilinear.
  • Pela relação do trecho plastificado: \sigma_{1}=\sigma_{o}+E_{T}\,(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{o}).
  • Substituindo \varepsilon_{1}=k_{1}\dfrac{D}{2} e \varepsilon_{o}=\dfrac{\sigma_{o}}{E}, obtemos \sigma_{1}=\sigma_{o}+E_{T}\!\left(k_{1}\frac{D}{2}-\frac{\sigma_{o}}{E}\right).
  • Essa \sigma_{1} é a tensão máxima alcançada na fibra durante a flexão.

Passo 5

Raciocínio sobre re-escoamento com encruamento isotrópico e condição para evitar novo escoamento.
  • Pelo encruamento isotrópico explicado antes, após o carregamento plástico até \sigma_{1} e posterior descarregamento parcial, o novo nível de tensão a partir do qual ocorrerá novo escoamento (no mesmo sentido) é a tensão máxima já atingida, isto é \sigma_{1}.
  • Portanto, para que o carregamento por pressão não provoque novo escoamento, a tensão equivalente introduzida pela pressão (aqui usamos a componente circunferencial como controlador) deve satisfazer \sigma_{\theta} \le \sigma_{1}.

Passo 6

Substituir a expressão de \sigma_{\theta} e resolver para \Delta P_{\max}.
  • Como \sigma_{\theta}=\dfrac{\Delta P\,D}{2t} e exigimos \sigma_{\theta}\le\sigma_{1}, temos \frac{\Delta P_{\max}\,D}{2t}=\sigma_{1}.
  • Assim \Delta P_{\max}=\frac{2t}{D}\,\sigma_{1}.
  • Substituindo a expressão de \sigma_{1} do Passo 4: \Delta P_{\max}=\frac{2t}{D}\left[\sigma_{o}+E_{T}\!\left(k_{1}\frac{D}{2}-\frac{\sigma_{o}}{E}\right)\right].

Passo 7

Simplificar a expressão final (de forma a ficar mais limpa e de fácil memorização).
  • Desenvolvendo o parêntese: \Delta P_{\max}=\frac{2t}{D}\sigma_{o}+\frac{2t}{D}E_{T}\!\left(k_{1}\frac{D}{2}\right)-\frac{2t}{D}E_{T}\!\left(\frac{\sigma_{o}}{E}\right).
  • Observando que \dfrac{2t}{D}E_{T}\!\left(k_{1}\dfrac{D}{2}\right)=t\,E_{T}\,k_{1}, a expressão fica \Delta P_{\max}=t\,E_{T}\,k_{1}+\frac{2t}{D}\sigma_{o}\left(1-\frac{E_{T}}{E}\right).
  • Ambas as formas são equivalentes; a forma expandida mostra claramente os termos de contribuição (um termo proporcional a k_{1} e um termo proporcional a \sigma_{o}).

Resposta

\Delta P_{\max}=\frac{2t}{D}\left[\sigma_{o}+E_{T}\!\left(k_{1}\frac{D}{2}-\frac{\sigma_{o}}{E}\right)\right]
ou, equivalentemente,
\Delta P_{\max}=t\,E_{T}\,k_{1}+\frac{2t}{D}\sigma_{o}\left(1-\frac{E_{T}}{E}\right).

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