(30 pontos) A curva tensão deformação de um material de um duto submarino de diâmetro D e espessura t(D \gg t) é aproximada da seguinte forma (bi-linear):
Antes de ser apoiado completamente no leito marinho, durante a instalação, o duto (alagado) é submetido a uma curvatura de flexão excessiva k_{1}>k_{o} onde k_{o} é a curvatura associada ao escoamento inicial do duto. Calcule o diferencial de pressão máximo \left(\Delta P=\left|P_{i}-P_{e}\right|\right) a que o duto pode ser submetido em operação para que o material não escoe novamente, considerando:
b) Encruamento cinemático linear (15 pontos).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o diferencial de pressão máximo [\Delta P=\left|P_{i}-P_{e}\right|) que o duto pode suportar em operação sem que o material escoe novamente, considerando encruamento cinemático linear. Dados e informações fornecidas (retiradas do enunciado):
onde E\] é o módulo elástico e \(E_{T} é a tangente pós-escorregamento (slope pós-yield).
Durante a instalação o duto foi submetido a uma curvatura de flexão k_{1} com k_{1}>k_{o}, onde k_{o} é a curvatura correspondente ao início do escoamento (isto é, a curvatura tal que a fibra externa atinge \sigma_{o}).
Relação entre curvatura e deformação na fibra mais externa (distância \tfrac{D}{2} do eixo neutro): \varepsilon_{\text{b}}=k\,\dfrac{D}{2}.
O objetivo é achar \Delta P_{\max} em função das grandezas dadas, para o caso de encruamento cinemático linear.
Observação importante: o enunciado usa \Delta P=|P_i-P_e|, então a pressão diferencial pode causar tensão axial de sinal positivo (tração, quando P_i>P_e) ou negativo (compressão, quando P_e>P_i). Vamos tratar ambos os sinais e também dar a condição mais conservadora se for necessário evitar escoamento para ambos os casos.]
Passo 2
Entender a relação tensão-deformação no carregamento por flexão até k_{1}.
Deformação total na fibra externa quando a curvatura é k_{1}:
\varepsilon_{\max}=k_{1}\,\frac{D}{2}.
Curvatura de início do escoamento k_{o} satisfaz \varepsilon_{o}=\dfrac{\sigma_{o}}{E}=k_{o}\,\dfrac{D}{2}. Logo
\frac{\sigma_{o}}{E}=k_{o}\,\frac{D}{2}.
Para k_{1}>k_{o} a fibra externa passou para a região plástica. Usando a lei bi-linear, a tensão máxima atingida na fibra externa durante aquele carregamento (carregamento monotônico) é, para \varepsilon_{\max}\ge\varepsilon_{o},
Explicando didaticamente: isso vem da segunda linha da lei bi-linear, que diz que além do escoamento a tensão cresce com slope E_{T} em função da deformação total além da deformação correspondente a \sigma_{o}.
Passo 3
Modelo de encruamento cinemático linear — conceito e como ele entra na condição de re-escoamento.
Encruamento cinemático linear significa que a superfície de escoamento em uma condição uniaxial traduz-se (desloca-se) no eixo da tensão por um “backstress” \alpha que cresce linearmente com a deformação plástica acumulada. Em termos simples, após um carregamento plástico e retorno elástico, o critério de escoamento fica
\big|\sigma-\alpha\big|=\sigma_{o},
onde \alpha é o deslocamento do centro da banda de escoamento.
Para o modelo linear de Prager (encruamento cinemático linear), quando se considera o comportamento bilinear elasto-plástico com tangente pós-yield E_{T}, existe uma relação entre o módulo de encruamento cinemático H e E_{T}. Se se trabalha a formulação incremental, o módulo tangente efetivo após escoamento é
E_{T}=\frac{E\,H}{E+H}.
Isto permite relacionar H e E_{T}, mas não é necessário manipular H explicitamente: uma simplificação elegante surge no passo seguinte.
Vamos calcular o backstress final \alpha após o carregamento até \sigma_{\max} e subsequente descarregamento elástico até tensão nula (situação antes da operação por pressão). Para encruamento cinemático linear com lei bilinear, a análise do ciclo mostra (calculei abaixo) que
\alpha=\sigma_{\max}-\sigma_{o}.
Vou mostrar a dedução passo a passo no próximo passo, porque essa identidade é útil e simplifica muito a expressão final.
Passo 4
Dedução explícita de \alpha=\sigma_{\max}-\sigma_{o} (passo-a-passo).
Durante carregamento monotônico além do escoamento, a tensão é
Para o modelo de encruamento cinemático linear com constante H vale \alpha=H\,\varepsilon^{p}_{\max}. Agora substituímos \varepsilon^{p}_{\max} usando a expressão do item 3:
Substitui-se \sigma_{\max} da equação do passo 2 e recolhe-se termos. É mais prático usar a relação entre H e E_{T}. A relação deduzida do comportamento bilinear é
Mas, pela expressão do passo 2, E_{T}(\varepsilon_{\max}-\varepsilon_{o})=\sigma_{\max}-\sigma_{o}. Portanto
\boxed{\alpha=\sigma_{\max}-\sigma_{o}.}
Comentário intuitivo: o backstress \alpha corresponde ao “avanço” do limite de escoamento na direção de carregamento e, para o modelo bilinear + encruamento cinemático linear, esse avanço é exatamente a diferença entre a tensão máxima alcançada e a tensão de escoamento inicial.
Passo 5
Critério para que não haja re-escoamento quando se aplica uma tensão axial uniforme devido à pressão diferencial \Delta P.
Ao aplicar a pressão diferencial \Delta P o duto sofre uma tensão axial membrane uniforme dada por (cilindro fino)
\sigma_{p}=\frac{\Delta P\,D}{4t}.
Explicação rápida: para um cilindro fino sob pressão interna p a tensão circunferencial (hoop) é \sigma_{\theta}=pD/(2t) e a tensão axial é \sigma_{x}=pD/(4t).
Com o backstress \alpha presente (resultado da instalação e descarregamento), o critério de escoamento uniaxial é
\big|\sigma_{p}-\alpha\big|=\sigma_{o}.
Portanto, para não haver escoamento deve valer
\big|\sigma_{p}-\alpha\big|\le\sigma_{o}.
Resolve-se essa desigualdade para \sigma_{p}. As duas fronteiras de escoamento são:
\sigma_{p}=\alpha+\sigma_{o}\quad\text{(escoamento em tração)},çã
\sigma_{p}=\alpha-\sigma_{o}\quad\text{(escoamento em compressão)}.ã
Isto significa: a tensão axial aplicada pode crescer até o valor máximo já alcançado anteriormente durante a curvatura sem causar novo escoamento no mesmo sentido de carregamento. Em termos de curvatura,
Isto pode ser negativo; o escoamento em compressão ocorrerá tão logo a tensão axial aplicada alcance esse valor (mais negativa). Em magnitude, o limite de compressão permitido é |\sigma_{\max}-2\sigma_{o}|.
Agora relacionamos tensão axial com diferencial de pressão:
Comentário prático: se a operação impuser somente pressão interna (tração axial) use \Delta P_{\max}^{(+)}. Se houver possibilidade de pressão externa maior (compressão axial), verifique \Delta P_{\max}^{(-)}. Se quiser uma garantia para qualquer sinal de \Delta P (conservador), escolha o menor valor das magnitudes admissíveis (isto é, o valor cujo módulo seja mais restritivo).
Passo 8
Interpretação física e regra prática para o problema da prova (passo de resumo pedagógico).
A encruamento cinemático linear desloca o limite de escoamento; na mesma direção do carregamento anterior o novo limite fica aumentado até \sigma_{\max} (portanto a tensão axial de mesma polaridade pode ser maior que \sigma_{o} sem re-escoar). No sentido oposto, o limite reduz-se e pode causar escoamento com pouco carregamento reverso.
Fórmulas finais prontas para aplicação numérica: usar as expressões do passo 7 substituindo os valores conhecidos de D,t,E,E_{T},\sigma_{o},k_{1},k_{o}.