(30 pontos) Encontre a solução geral da EDO de segunda ordem linear:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + y' + y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, assumindo uma solução da forma y(x)=e^{rx}.

Passo 2

Substituindo y(x)=e^{rx} em \,y''+y'+y=0 obtemos
r^2 e^{rx} + r e^{rx} + e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, segue a equação característica
r^2 + r + 1 = 0.

Passo 3

O discriminante da equação r^2 + r + 1 = 0 é
\Delta = 1^2 - 4\cdot1\cdot1 = -3 < 0,
portanto as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Quando as raízes da característica são \alpha \pm i\beta, a solução geral real é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Aqui \alpha = -\frac12 e \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}. Logo a solução geral da EDO é
y(x) = e^{-x/2}\bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\bigr).

Resposta

y(x) = e^{-x/2}\bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\bigr)
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

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