(30 pontos) Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}=4 y^{\prime}-4 y ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' = 4y' - 4y, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=-1.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando a equação característica.

Passo 2

Assumimos solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo em y'' -4y' +4y=0, obtemos a equação característica
r^2 - 4r + 4 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot4 = 16 - 16 = 0.
Logo há raiz dupla
r = \frac{4}{2} = 2.

Passo 4

Para raiz dupla r=2, a solução geral é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{2x}.

Passo 5

Usando y(0)=1:
y(0) = (C_1 + C_2\cdot0)e^{0} = C_1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 1.

Passo 6

Calculamos y'(x) para aplicar y'(0)=-1:
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl((C_1 + C_2 x)e^{2x}\Bigr) = \bigl(C_2 + 2(C_1 + C_2 x)\bigr)e^{2x}.
Em x=0:
y'(0) = (C_2 + 2C_1)e^{0} = C_2 + 2\cdot1 = C_2 + 2 = -1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -3.

Passo 7

Substituindo C_1=1 e C_2=-3 na solução geral, vem
y(x) = (1 - 3x)e^{2x}.

Resposta

y(x) = (1 - 3x)e^{2x}.

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