( 30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Isso é uma EDO linear homogênea de
º ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico: assumimos uma solução do tipo
, obtemos as raízes
, escrevemos a solução geral e depois ajustamos as constantes pelas condições iniciais.
Passo 2
Substituindo
temos
Como
, o polinômio característico é
Resolvendo essa equação de segundo grau:
logo as raízes são
e
.
Passo 3
Como as raízes
e
são distintas, a solução geral da EDO é
Passo 4
Para aplicar as condições iniciais, calculamos a derivada:
Em
temos o sistema
Passo 5
Somando as duas equações do sistema:
portanto
Substituindo em
dá
Passo 6
Com
e
, a solução que satisfaz as condições iniciais é