( 30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0 ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' - 3y' - 4y = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=1
Isso é uma EDO linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico: assumimos uma solução do tipo y=e^{rx}, obtemos as raízes r, escrevemos a solução geral e depois ajustamos as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} temos
r^2 e^{rx} - 3r e^{rx} -4 e^{rx} = 0
Como e^{rx}\neq0, o polinômio característico é
r^2 - 3r - 4 = 0.
Resolvendo essa equação de segundo grau:
r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2},
logo as raízes são r_1=4 e r_2=-1.

Passo 3

Como as raízes 4 e -1 são distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x}.

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, calculamos a derivada:
y'(x) = 4C_1 e^{4x} - C_2 e^{-x}.
Em x=0 temos o sistema
\begin{cases} y(0)=C_1 + C_2 = 1,\\[6pt] y'(0)=4C_1 - C_2 = 1. \end{cases}]

Passo 5

Somando as duas equações do sistema:
(C_1 + C_2) + (4C_1 - C_2) = 1 + 1 \;\Longrightarrow\; 5C_1 = 2
portanto
C_1 = \frac{2}{5}.
Substituindo em C_1 + C_2 = 1
C_2 = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}.

Passo 6

Com C_1=\tfrac{2}{5} e C_2=\tfrac{3}{5}, a solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = \frac{2}{5}\,e^{4x} + \frac{3}{5}\,e^{-x}.

Resposta

y(x) = \frac{2}{5}e^{4x} + \frac{3}{5}e^{-x}.

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