9.30 Um tanque contém inicialmente 10 galöes de água pura. No instante t=0, começa-sea adicionar ao tanque uma soluçāo de salmoura com \frac{2}{2} lb de sal por galäo, à razāo de 2 \mathrm{gal} / \mathrm{min}, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesma taxa. Determine (a) a quantidade e (b) a concentração de sal no tanque no instante t.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com volume inicial de 10 galões de água pura. A partir de t=0 entra uma solução com \tfrac{2}{2}=1 lb de sal por galão à razão de 2 gal/min, e sai mistura à mesma taxa. Queremos (a) a quantidade de sal S(t) no tanque e (b) a concentração de sal C(t) no instante t. Vamos usar modelo de mistura com volume constante e equação diferencial para S(t).

Passo 2

Como a vazão de entrada é igual à de saída (2 gal/min), o volume no tanque permanece constante igual a
V(t)=10\text{ gal}.

Passo 3

A taxa de variação de sal é
\frac{dS}{dt} =\bigl(\text{concentração entrada}\bigr)\cdot(\text{vazão in}) -\bigl(\text{concentração interna}\bigr)\cdot(\text{vazão out}).çããçãã
Substituindo,
\frac{dS}{dt} =1\;\frac{\text{lb}}{\text{gal}}\times2\;\frac{\text{gal}}{\min} -\frac{S(t)}{10\;\text{gal}}\times2\;\frac{\text{gal}}{\min} =2-0{,}2\,S(t).

Passo 4

Resolvendo a equação linear
\frac{dS}{dt}+0{,}2\,S=2,
o fator integrante é e^{0,2t}. Integramos:
S(t)e^{0,2t} =\int 2\,e^{0,2t}dt =10\,e^{0,2t}+K.
Como S(0)=0, temos K=-10. Logo
S(t)e^{0,2t}=10\,e^{0,2t}-10 \quad\Longrightarrow\quad S(t)=10\bigl(1-e^{-0,2t}\bigr).

Passo 5

A concentração é C(t)=S(t)/V. Como V=10,
C(t)=\frac{S(t)}{10} =1-e^{-0,2t}.

Resposta

(a) S(t)=10\bigl(1-e^{-0,2t}\bigr) lb de sal.
(b) C(t)=1-e^{-0,2t} lb/gal.

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