9.30 Um tanque contém inicialmente 10 galöes de água pura. No instante
, começa-sea adicionar ao tanque uma soluçāo de salmoura com
lb de sal por galäo, à razāo de
, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesma taxa. Determine (a) a quantidade e (b) a concentração de sal no tanque no instante
.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque com volume inicial de 10 galões de água pura. A partir de
entra uma solução com
lb de sal por galão à razão de 2 gal/min, e sai mistura à mesma taxa. Queremos (a) a quantidade de sal
no tanque e (b) a concentração de sal
no instante
. Vamos usar modelo de mistura com volume constante e equação diferencial para
.
Passo 2
Como a vazão de entrada é igual à de saída (2 gal/min), o volume no tanque permanece constante igual a
Passo 3
A taxa de variação de sal é
Substituindo,
Passo 4
Resolvendo a equação linear
o fator integrante é
. Integramos:
Como
, temos
. Logo
Passo 5
A concentração é
. Como
,
Resposta
(a)
lb de sal.
(b) lb/gal.
(b)