9.32 Um circuito RC tem fem de 5 volts, resistência de 10 ohms, capacitância de 10^{-2} farad e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine (a) a corrente transitória e (b) a corrente estacionária.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RC alimentado por uma fem E=5,V, com resistência R=10, \Omega e capacitância C=10^{-2},F, e a condição inicial de carga no capacitor q(0)=5,C. O conteúdo é a resolução da equação diferencial de primeiro ordem que vem da lei de Kirchhoff de tensões (KVL) e da relação i=\tfrac{dq}{dt}.

Passo 2

Escrevemos a KVL no laço:
R\,i(t)+v_C(t)=E
como v_C(t)=\frac{q(t)}{C} e i(t)=\frac{dq}{dt}, obtemos a ODE
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\,q= \frac{E}{R}.

Passo 3

Para resolver
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\,q= \frac{E}{R},
identificamos: \displaystyle RC=10\cdot10^{-2}=0,1,s e \displaystyle C\,E=10^{-2}\cdot5=0,05,C.
A solução geral é
q(t)=C\,E+\bigl(q(0)-C\,E\bigr)e^{-t/(RC)} =0,05+\bigl(5-0,05\bigr)e^{-t/0,1} =0,05+4,95\,e^{-10\,t}.

Passo 4

A corrente é i(t)=\frac{dq}{dt}. Logo, derivando:
i(t)=-\frac{q(0)-C\,E}{RC}\;e^{-t/(RC)} =-\frac{4,95}{0,1}\,e^{-10\,t} =-49,5\,e^{-10\,t}\quad\text{(A)}.

Passo 5

No regime estacionário t\to\infty o termo exponencial vai a zero, então
i(\infty)=0\quad\text{(A)}.

Resposta

(a) \displaystyle i(t)=-49,5\,e^{-10\,t} A
(b) \displaystyle i(\infty)=0 A

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