Sejam v_{1}=(2,1,0,3), v_{2}=(3,1,5,2), v_{3}=(-1,0,2,1). Decida se os vetores abaixo estão em \operatorname{span}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}.
(0,0,0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \,v_{1}=(2,1,0,3), v_{2}=(3,1,5,2), v_{3}=(-1,0,2,1) em \mathbb{R}^{4} e pergunta se o vetor (0,0,0,0) está em \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}. O conteúdo aqui é espaço gerado por vetores e combinação linear: um vetor w pertence ao span de \{v_{1},v_{2},v_{3}\} se existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=w.

Passo 2

Para ver se (0,0,0,0) está no span basta notar que a combinação trivial com \alpha=0, \beta=0 e \gamma=0
0\cdot v_{1} + 0\cdot v_{2} + 0\cdot v_{3} = (0,0,0,0).
Isso mostra que (0,0,0,0) é obtido como combinação linear dos v_{i}.

Resposta

Sim. O vetor (0,0,0,0) pertence a \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.

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