(1) 30 y^{\prime}=e^{2 x}+y-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
30\,y' = e^{2x} + y - 1
e pede a solução geral y(x).
Este é um caso de equação linear na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
que vamos resolver usando fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão divindo por 30:
y' - \frac{1}{30}\,y = \frac{e^{2x}-1}{30}.
Aqui p(x) = -\tfrac{1}{30} e q(x)=\tfrac{e^{2x}-1}{30}.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{1}{30}\,dx\Bigr) = e^{-x/30}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(x):
e^{-x/30}\,y' - \frac{1}{30}\,e^{-x/30}\,y = \frac{e^{2x}-1}{30}\,e^{-x/30}.
O lado esquerdo é a derivada
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x/30}y\bigr).
No lado direito temos
\frac{e^{2x}-1}{30}\,e^{-x/30} = \frac{1}{30}\bigl(e^{2x - x/30}-e^{-x/30}\bigr) = \frac{1}{30}\bigl(e^{59x/30}-e^{-x/30}\bigr).
Integramos ambos os lados:
e^{-x/30}y = \int\frac{1}{30}e^{59x/30}\,dx - \int\frac{1}{30}e^{-x/30}\,dx + C.
Calculando as primitivas:
\int e^{59x/30}\,dx = \frac{30}{59}e^{59x/30}, \quad \int e^{-x/30}\,dx = -30\,e^{-x/30}.
Logo
e^{-x/30}y = \frac{1}{30}\cdot\frac{30}{59}e^{59x/30} - \frac{1}{30}\cdot(-30)e^{-x/30} + C = \frac{1}{59}e^{59x/30} + e^{-x/30} + C.

Passo 4

Multiplicando por e^{x/30} para isolar y:
y = e^{x/30}\Bigl(\frac{1}{59}e^{59x/30} + e^{-x/30} + C\Bigr) = \frac{1}{59}e^{60x/30} + 1 + C\,e^{x/30}.
Como 60/30=2, fica
y(x) = 1 + \frac{e^{2x}}{59} + C\,e^{x/30},
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = 1 + \frac{e^{2x}}{59} + C\,e^{x/30}.

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