30)Um projétil é atirado com velocidade de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ,fazendo ângulo de 37^{\circ} \mathrm{com} a horizontal.A 64 m do ponto de disparo,há um obstáculo de altura 20 m .Adotando \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \cos 37^{\circ}=0,80 \mathrm{e} sen 37^{\circ}=0,60 ,pode-se concluir que o projétil
a)passa à distância de 2,0 \mathrm{~m} acima do obstáculo.
b)passa à distância de 8,0 \mathrm{~m} acima do obstáculo.
c)choca-se com o obstáculo a 12 m de altura.
d)choca-se com o obstáculo a 18 m de altura.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede para comparar a altura do projétil com a do obstáculo (escolher a alternativa correta entre as opções dadas):
  • Velocidade inicial: v_{0}=40\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento com a horizontal: \theta=37^\circ.
  • Em x=64\\ \mathrm{m} (distância horizontal do ponto de disparo) há um obstáculo cuja altura é h_{\text{obs}}=20\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Valores trigonométricos fornecidos: \cos 37^\circ=0,80 e \sin 37^\circ=0,60.
O que precisamos encontrar: a altura do projétil no instante em que ele alcança a posição horizontal x=64\\ \mathrm{m} e, a partir disso, determinar se ele passa acima do obstáculo (e por quantos metros) ou se choca com ele (e a que altura).

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é fundamental em movimentos oblíquos: a componente horizontal governa o deslocamento em x (movimento retilíneo uniforme se desprezarmos resistência do ar) e a componente vertical governa o movimento em y (movimento uniformemente variado sob a ação da gravidade).
As fórmulas são
v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
Substituindo os números dados:
v_{0x}=40\cdot 0,80=32\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=40\cdot 0,60=24\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: v_{0x}=32\\ \mathrm{m/s} é a velocidade horizontal constante; v_{0y}=24\\ \mathrm{m/s} é a velocidade inicial para a componente vertical.

Passo 3

Usamos a componente horizontal para achar o tempo em que o projétil atinge x=64\\ \mathrm{m}. Como não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), a posição horizontal varia com o tempo como
x(t)=v_{0x}\,t.
Queremos t tal que x(t)=64\\ \mathrm{m}. Então
t=\frac{x}{v_{0x}}=\frac{64}{32}=2\\ \mathrm{s}.
Significado físico: após 2\\ \mathrm{s} o projétil terá percorrido horizontalmente os 64\\ \mathrm{m} até o obstáculo.

Passo 4

Agora usamos a componente vertical para achar a altura do projétil no tempo t=2\\ \mathrm{s}. A equação do movimento vertical (tomando altura inicial y(0)=0) é
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g t^{2}.
Explanação das parcelas: v_{0y}\,t é o aumento de altura devido à velocidade inicial vertical; \tfrac{1}{2}g t^{2} é a redução de altura pela aceleração da gravidade (subtraímos porque a gravidade aponta para baixo).
Substituindo v_{0y}=24\\ \mathrm{m/s}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e t=2\\ \mathrm{s}:
y(2)=24\cdot 2-\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 2^{2}.
Calcule passo a passo:
24\cdot 2=48,
2^{2}=4,\quad \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=5\cdot 4=20,
y(2)=48-20=28\\ \mathrm{m}.
Portanto, no instante em que o projétil está alinhado horizontalmente com o obstáculo ( x=64\\ \mathrm{m}), sua altura é y=28\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Compare a altura do projétil com a altura do obstáculo. A diferença é
\Delta h = y(2)-h_{\text{obs}}=28-20=8\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o projétil está 8\\ \mathrm{m} acima do topo do obstáculo quando passa sobre ele. (Como verificação extra rápida: o tempo até o máximo da trajetória é t_{\text{pico}}=v_{0y}/g=24/10=2,4\\ \mathrm{s}, maior que 2\\ \mathrm{s}, então no instante t=2\\ \mathrm{s} o projétil ainda está subindo — faz sentido que esteja acima do obstáculo.)

Resposta

b) passa à distância de 8,0\\ \mathrm{m} acima do obstáculo.

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