30)Um projétil é atirado com velocidade de
,fazendo ângulo de
a horizontal.A 64 m do ponto de disparo,há um obstáculo de altura 20 m .Adotando
sen
,pode-se concluir que o projétil
a)passa à distância de
acima do obstáculo.
b)passa à distância de
acima do obstáculo.
c)choca-se com o obstáculo a 12 m de altura.
d)choca-se com o obstáculo a 18 m de altura.
a)passa à distância de
b)passa à distância de
c)choca-se com o obstáculo a 12 m de altura.
d)choca-se com o obstáculo a 18 m de altura.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede para comparar a altura do projétil com a do obstáculo (escolher a alternativa correta entre as opções dadas):
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento com a horizontal:
. - Em
(distância horizontal do ponto de disparo) há um obstáculo cuja altura é . - Aceleração da gravidade:
. - Valores trigonométricos fornecidos:
e .
O que precisamos encontrar: a altura do projétil no instante em que ele alcança a posição horizontal
e, a partir disso, determinar se ele passa acima do obstáculo (e por quantos metros) ou se choca com ele (e a que altura).
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é fundamental em movimentos oblíquos: a componente horizontal governa o deslocamento em
(movimento retilíneo uniforme se desprezarmos resistência do ar) e a componente vertical governa o movimento em
(movimento uniformemente variado sob a ação da gravidade).
As fórmulas são
Substituindo os números dados:
Interpretação:
é a velocidade horizontal constante;
é a velocidade inicial para a componente vertical.
Passo 3
Usamos a componente horizontal para achar o tempo em que o projétil atinge
. Como não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), a posição horizontal varia com o tempo como
Queremos
tal que
. Então
Significado físico: após
o projétil terá percorrido horizontalmente os
até o obstáculo.
Passo 4
Agora usamos a componente vertical para achar a altura do projétil no tempo
. A equação do movimento vertical (tomando altura inicial
) é
Explanação das parcelas:
é o aumento de altura devido à velocidade inicial vertical;
é a redução de altura pela aceleração da gravidade (subtraímos porque a gravidade aponta para baixo).
Substituindo
,
e
:
Calcule passo a passo:
Portanto, no instante em que o projétil está alinhado horizontalmente com o obstáculo (
), sua altura é
.
Passo 5
Compare a altura do projétil com a altura do obstáculo. A diferença é
Interpretação: o projétil está
acima do topo do obstáculo quando passa sobre ele. (Como verificação extra rápida: o tempo até o máximo da trajetória é
, maior que
, então no instante
o projétil ainda está subindo — faz sentido que esteja acima do obstáculo.)
Resposta
b) passa à distância de
acima do obstáculo.