Um garoto,voltando da escola,encontrou seus amigos jogando uma partida de futebol no campinho ao lado de sua casa e resolveu participar da brincadeira.Para não perder tempo,atirou sua mochila por cima do muro,para o quintal de sua casa:postou- se a uma distância de 3,6 \mathrm{~m} do muro e,pegando a mochila pelas alças,lançou-a a partir de uma altura de 0,4 \mathrm{~m} .Para que a mochila passasse para o outro lado com segurança, foi necessário que o ponto mais alto da trajetória estivesse a 2,2 \mathrm{~m} do solo.Considere que a mochila tivesse tamanho desprezível comparado à altura do muro e que durante a trajetória não houve movimento de rotação ou perda de energia.Tomando \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ,calcule
a)o tempo decorrido,desde o lançamento,para a mochila atingir a altura máxima. b)o ângulo de lançamento. Dados:
\theta \boldsymbol{\operatorname { s e n }} \theta \boldsymbol{\operatorname { c o s }} \theta \boldsymbol{\operatorname { t g }} \theta
30^{\circ} 1 / 2 \sqrt{3} / 2 \sqrt{3} / 3
45^{\circ} \sqrt{2} / 2 \sqrt{2} / 2 1
60^{\circ} \sqrt{3} / 2 1 / 2 \sqrt{3}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular o tempo decorrido desde o lançamento até a mochila atingir a altura máxima.
  • (b) Calcular o ângulo de lançamento \theta.
Informações dadas (tudo extraído do enunciado):
  • Distância horizontal do ponto de lançamento até o muro: \,3,6\\ \mathrm{m}.
  • Altura de lançamento (altura inicial): \,0,4\\ \mathrm{m}.
  • Altura do ponto mais alto exigida (altura do vértice da trajetória): \,2,2\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: \,\mathrm{g}=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Pressupostos do enunciado: mochila de tamanho desprezível; não há rotação nem perda de energia; o ponto mais alto da trajetória ocorre justamente sobre o muro (ou seja, o vértice está a 3,6\\ \mathrm{m} horizontalmente do lançamento).

Passo 2

Entendendo o movimento vertical (ideia física e fórmula usada):
  • Na direção vertical tomamos o eixo positivo para cima.
  • A componente vertical da velocidade inicial é \,v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
  • No ponto mais alto a velocidade vertical é zero. Usamos a equação cinemática que liga velocidade, deslocamento vertical e aceleração:
v_{y}^{2}=v_{0y}^{2}-2g\Delta y,
onde:
  • v_{y} é a velocidade vertical num instante (no vértice v_{y}=0),
  • v_{0y} é a componente vertical da velocidade inicial,
  • g é a aceleração da gravidade (positiva aqui, pois subtraímos 2g\Delta y),
  • \Delta y é o deslocamento vertical da posição inicial até o vértice.
No vértice v_{y}=0, então:
0=v_{0y}^{2}-2g\Delta y\quad\Rightarrow\quad v_{0y}=\sqrt{2g\Delta y}.
Calcule \Delta y:
\Delta y = 2,2 - 0,4 = 1,8\\ \mathrm{m}.
Substituindo:
v_{0y}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 1,8}=\sqrt{36}=6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Tempo até atingir a altura máxima (fórmula e cálculo):
  • A velocidade vertical varia com o tempo segundo v_{y}(t)=v_{0y}-g t.
  • No máximo v_{y}=0, então o tempo até o vértice é
t_{\text{máx}}=\frac{v_{0y}}{g}.á
Substituindo v_{0y}=6\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s}^{2}:
t_{\text{máx}}=\frac{6}{10}=0,6\\ \mathrm{s}.á
Logo a resposta da parte (a) é 0,6\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Entendendo o movimento horizontal e relacionando com a posição do muro:
  • Na horizontal não há aceleração (desprezamos resistência do ar), então a componente horizontal da velocidade é constante: v_{0x}=v_{0}\cos\theta.
  • A posição horizontal do vértice (o muro) está a 3,6\\ \mathrm{m} do lançamento e o tempo para chegar ao vértice é t_{\text{máx}}=0,6\\ \mathrm{s}á.
  • Deslocamento horizontal até o vértice:
x = v_{0x}\, t_{\text{máx}}.á
Isolando v_{0x}:
v_{0x}=\frac{x}{t_{\text{máx}}}=\frac{3,6}{0,6}=6\\ \mathrm{m/s}.á

Passo 5

Cálculo do ângulo de lançamento:
  • A tangente do ângulo é a razão entre as componentes vertical e horizontal da velocidade inicial:
\tan\theta=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}.
Substituindo v_{0y}=6\\ \mathrm{m/s} e v_{0x}=6\\ \mathrm{m/s}:
\tan\theta=\frac{6}{6}=1.
  • O ângulo cujo valor da tangente é 1 é \theta=45^\circ (ver tabela fornecida: \tan 45^\circ = 1).

Resposta

(a) 0,6\\ \mathrm{s}
(b) 45^\circ

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