Um garoto,voltando da escola,encontrou seus amigos jogando uma partida de futebol no campinho ao lado de sua casa e resolveu participar da brincadeira.Para não perder tempo,atirou sua mochila por cima do muro,para o quintal de sua casa:postou- se a uma distância de
do muro e,pegando a mochila pelas alças,lançou-a a partir de uma altura de
.Para que a mochila passasse para o outro lado com segurança, foi necessário que o ponto mais alto da trajetória estivesse a
do solo.Considere que a mochila tivesse tamanho desprezível comparado à altura do muro e que durante a trajetória não houve movimento de rotação ou perda de energia.Tomando
,calcule
a)o tempo decorrido,desde o lançamento,para a mochila atingir a altura máxima. b)o ângulo de lançamento. Dados:
1
a)o tempo decorrido,desde o lançamento,para a mochila atingir a altura máxima. b)o ângulo de lançamento. Dados:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Calcular o tempo decorrido desde o lançamento até a mochila atingir a altura máxima.
- (b) Calcular o ângulo de lançamento
.
Informações dadas (tudo extraído do enunciado):
- Distância horizontal do ponto de lançamento até o muro:
. - Altura de lançamento (altura inicial):
. - Altura do ponto mais alto exigida (altura do vértice da trajetória):
. - Aceleração da gravidade:
. - Pressupostos do enunciado: mochila de tamanho desprezível; não há rotação nem perda de energia; o ponto mais alto da trajetória ocorre justamente sobre o muro (ou seja, o vértice está a
horizontalmente do lançamento).
Passo 2
Entendendo o movimento vertical (ideia física e fórmula usada):
- Na direção vertical tomamos o eixo positivo para cima.
- A componente vertical da velocidade inicial é
. - No ponto mais alto a velocidade vertical é zero. Usamos a equação cinemática que liga velocidade, deslocamento vertical e aceleração:
onde:
-
é a velocidade vertical num instante (no vértice ), -
é a componente vertical da velocidade inicial, -
é a aceleração da gravidade (positiva aqui, pois subtraímos ), -
é o deslocamento vertical da posição inicial até o vértice.
No vértice
, então:
Calcule
:
Substituindo:
Passo 3
Tempo até atingir a altura máxima (fórmula e cálculo):
- A velocidade vertical varia com o tempo segundo
. - No máximo
, então o tempo até o vértice é
Substituindo
e
:
Logo a resposta da parte (a) é
.
Passo 4
Entendendo o movimento horizontal e relacionando com a posição do muro:
- Na horizontal não há aceleração (desprezamos resistência do ar), então a componente horizontal da velocidade é constante:
. - A posição horizontal do vértice (o muro) está a
do lançamento e o tempo para chegar ao vértice é . - Deslocamento horizontal até o vértice:
Isolando
:
Passo 5
Cálculo do ângulo de lançamento:
- A tangente do ângulo é a razão entre as componentes vertical e horizontal da velocidade inicial:
Substituindo
e
:
- O ângulo cujo valor da tangente é
é (ver tabela fornecida: ).
Resposta
(a)
(b)
(b)