3.1 Considere a onda eletromagnética plana(em unidades SI)dada pelas expressões
E_{x}=0, E_{y}=2 \cos \left[2 \pi \times 10^{7}(z-c t)+\pi / 2\right] e E_{z}=0
(a)Qual é a frequência,comprimento de onda,direção de propagação,amplitude,ângulo de fase inicial e polarização da onda?
(b)Escreva uma expressão para a densidade de fluxo magnético B

Passo 1

O enunciado dá a onda elétrica (em unidades SI)
E_x=0,\qquad E_y=2\cos\!\left[2\pi\times10^{7}\,(z-c t)+\frac{\pi}{2}\right],\qquad E_z=0.
Perguntas pedidas:
(a) Determinar a frequência, o comprimento de onda, a direção de propagação, a amplitude, o ângulo de fase inicial e a polarização da onda.
(b) Escrever uma expressão para a densidade de fluxo magnético \mathbf{B}.
Informações explícitas fornecidas que usarei: o argumento da cosseno é 2\pi\times10^{7}(z-ct)+\pi/2; a amplitude numérica do campo elétrico é 2 (unidades V/m). Não há outras imagens ou dados.

Passo 2

Entendendo a forma padrão de uma onda eletromagnética plana unidimensional (didático rápido).
  • Uma onda plana viajando na direção z costuma ser escrita como
\mathbf{E}(z,t)=\mathbf{E}_0\cos\!\bigl(kz-\omega t+\phi_0\bigr),
onde:
  • k é o número de onda (em \mathrm{m^{-1}}), e relaciona-se com o comprimento de onda \lambda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}) e relaciona-se com a frequência \,f\, por \omega=2\pi f.
  • \phi_0 é a fase inicial (ângulo de fase quando z=0,t=0).
  • \mathbf{E}_0 é o vetor amplitude do campo elétrico (unidades V/m) e indica direção de polarização.
  • Em vácuo a relação de dispersão é \omega = c k, onde c é a velocidade da luz no vácuo ( c\approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).
Agora comparar a forma dada com a forma padrão para extrair k,\omega,\lambda,f,\phi_0.

Passo 3

Identificação de k e \omega a partir do argumento.
  • Do enunciado o fator multiplicando (z-ct) é 2\pi\times10^{7}. Escrevendo explicitamente o argumento:
2\pi\times10^{7}\,z - 2\pi\times10^{7}\,c t + \frac{\pi}{2}.
Logo podemos identificar
k = 2\pi\times10^{7}\quad\text{(em }\mathrm{m^{-1}}\text{)}, \qquad \omega = k c = \bigl(2\pi\times10^{7}\bigr)\,c\quad\text{(em }\mathrm{rad/s}\text{)}.

Passo 4

Cálculo do comprimento de onda \lambda e da frequência f.
  • Lembrando k=\dfrac{2\pi}{\lambda}, obtemos
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2\pi\times10^{7}}=\frac{1}{10^{7}}=10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • A frequência f em Hz é f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{k c}{2\pi}. Usando k=2\pi\times10^{7} simplifica para
f=\frac{k c}{2\pi}=(2\pi\times10^{7})\frac{c}{2\pi}=10^{7}c.
Substituindo c\approx3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
f\approx 10^{7}\times 3\times10^{8}=3\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Resumo numérico:
\lambda=10^{-7}\\ \mathrm{m}\quad(\text{ou }100\\ \mathrm{nm}),\qquad f\approx 3\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
(Se preferir mais precisão, usar c=2,9979\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, mas para a prova 3\times10^{8} é aceitável.)

Passo 5

Direção de propagação e interpretação do sinal.
  • A forma geral kz-\omega t descreve uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo z. No enunciado o argumento é proporcional a (z-ct), isto é kz-\omega t com \omega=k c. Portanto a onda se propaga na direção +\hat{z} (sentido positivo de z).

Passo 6

Amplitude e ângulo de fase inicial.
  • A amplitude do campo elétrico é o coeficiente multiplicando a função cosseno: \,E_0=2\\ \mathrm{V/m}.
  • A fase inicial (ângulo de fase quando z=0,t=0) é o termo constante que soma ao argumento, ou seja \phi_0=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Polarização (explicação didática).
  • Polarização descreve a direção do vetor \mathbf{E}_0. Aqui temos E_x=0,E_y\neq0,E_z=0, logo \mathbf{E} está sempre no sentido do eixo y.
  • Isso significa polarização linear, com direção \hat{y} (chama-se também onda linearmente polarizada em y).

Passo 8

Relação entre \mathbf{E} e \mathbf{B} para uma onda plana em vácuo (aula curta).
  • Das equações de Maxwell, para uma onda plana em vácuo há as relações vetoriais:
\mathbf{B}=\frac{1}{\omega}\,\mathbf{k}\times\mathbf{E},
onde \mathbf{k}=k\hat{k} é o vetor de onda. Como \omega=k c, isto simplifica para
\mathbf{B}=\frac{1}{c}\,\hat{k}\times\mathbf{E}.
  • Interpretação física: \mathbf{E},\mathbf{B} e \hat{k} são mutuamente perpendiculares e obedecem à regra da mão direita: \hat{k}=\hat{E}\times\hat{B}. Em particular os módulos satisfazem B_0=\dfrac{E_0}{c}.

Passo 9

Aplicando a relação ao caso dado (cálculo explícito).
  • Aqui \hat{k}=\hat{z} (propagação para +\hat{z}) e \mathbf{E}(z,t)=2\cos\!\bigl(kz-\omega t+\phi_0\bigr)\,\hat{y}.
  • Então
\mathbf{B}(z,t)=\frac{1}{c}\,\hat{z}\times\bigl[2\cos\!\bigl(kz-\omega t+\phi_0\bigr)\,\hat{y}\bigr] = \frac{2}{c}\cos\!\bigl(kz-\omega t+\phi_0\bigr)\,(\hat{z}\times\hat{y}).
  • Usando a regra do produto vetorial \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}, obtemos
\mathbf{B}(z,t)=-\frac{2}{c}\cos\!\bigl(kz-\omega t+\phi_0\bigr)\,\hat{x}.
  • Reescrevendo com os valores já identificados ( k=2\pi\times10^{7}, \phi_0=\pi/2):
\mathbf{B}(z,t)=-\frac{2}{c}\cos\!\Bigl[\,2\pi\times10^{7}\,(z-ct)+\frac{\pi}{2}\Bigr]\,\hat{x}.
  • Módulo da amplitude magnética:
B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{2}{c}\approx\frac{2}{3\times10^{8}}\approx 6{,}67\times10^{-9}\\ \mathrm{T}.
  • Observação final: \mathbf{E} e \mathbf{B} estão em fase (mesmo argumento da função cosseno) e são perpendiculares entre si e à direção de propagação.

Passo 10

Resumo e reforço prático (um lembrete para a prova).
  • Para identificar \lambda e f localize k no argumento da função trigonométrica e use k=2\pi/\lambda e \omega=kc=2\pi f.
  • Para obter \mathbf{B} em vácuo: aplique \mathbf{B}=(1/c)\,\hat{k}\times\mathbf{E} e faça o produto vetorial para achar a direção e o sinal.

Resposta

(a) Frequência: f\approx 3\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
(a) Comprimento de onda: \lambda=10^{-7}\\ \mathrm{m} (100 nm).
(a) Direção de propagação: +\hat{z}.
(a) Amplitude: E_0=2\\ \mathrm{V/m}.
(a) Ângulo de fase inicial: \phi_0=\dfrac{\pi}{2}.
(a) Polarização: linear, ao longo de \hat{y} (polarização em y).
(b) Densidade de fluxo magnético:
\mathbf{B}(z,t)=-\frac{2}{c}\cos\!\Bigl[2\pi\times10^{7}\,(z-ct)+\frac{\pi}{2}\Bigr]\,\hat{x}
(com amplitude numérica B_0\approx 6{,}67\times10^{-9}\\ \mathrm{T}).

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