Um feixe de mésons
(píons) viaja em um tubo de um acelerador de partículas a uma velocidade
0,92 em relação ao laboratório. (a) Determine o valor de
para esses píons. (b) O tempo de vida próprio dos píons é
s. Qual é o tempo de vida no referencial no laboratório? (c) Se o feixe contém inicialmente 50.000 píons, quantas partículas restam 50 m adiante? (d) Qual é a resposta do item (c) se a dilatação dos tempos for ignorada?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
- Velocidade do feixe:
(ou seja ). - Tempo de vida próprio (próprio do píon):
. - Número inicial de píons:
. - Distância para avaliar:
. - Usarei a velocidade da luz
(valor padrão).
- Velocidade do feixe:
- Perguntas:
(a) Calcular o fator de Lorentzpara .
(b) Determinar o tempo de vida observado no referencial do laboratório (dilatação do tempo).
(c) Quantas partículas restam aadiante, levando em conta dilatação do tempo e decaimento exponencial.
(d) Repetir (c) ignorando a dilatação do tempo (usar apenas).
Passo 2
Conceito necessário: fator de Lorentz
.
- Explicação didática curta: Em relatividade restrita, quantidades de tempo e comprimento entre referenciais em movimento se relacionam pelo fator
onde . Esse é adimensional e cresce quando se aproxima de . Não se assuste: é só uma função da velocidade relativa.
Agora aplicamos a fórmula com
.
Passo 3
Cálculo de
.
- Primeiro calcule
: - Calcule
: - Tire a raiz quadrada:
- Finalmente
Comentário amigável: portanto os píons parecem viver cerca de
vezes mais no referencial do laboratório do que no próprio referencial deles.
Passo 4
Conceito necessário: dilatação do tempo.
- A fórmula da dilatação do tempo relaciona o tempo próprio
(medido no referencial da partícula) com o tempo observado no laboratório : Aqui é o tempo médio de vida medido no laboratório (média de tempo até decair em laboratório).
Aplicamos com os valores que temos.
Passo 5
Cálculo do tempo de vida no laboratório
.
- Substituindo:
- Multiplicando:
Interpretação: cada píon, em média, vive cerca de
no referencial do laboratório antes de decair.
Passo 6
Conceito necessário: decaimento exponencial e relação com distância percorrida.
- O decaimento de partículas instáveis é aleatório, mas o número médio
que restam depois de um tempo é onde é o tempo médio de vida no referencial onde se mede . - Se as partículas viajam com velocidade
, o tempo que leva para percorrer uma distância é . Substituindo, - Definimos o comprimento médio de decaimento (comprimento de atenuação)
então - Resumo: para saber quantas restam a
, calcular e usar a exponencial.
Passo 7
Calcular a velocidade
e o comprimento médio
(usando dilatação).
- Velocidade:
- Comprimento médio de decaimento:
- Multiplicando:
Interpretação: em média cada píon percorre cerca de
antes de decair (no referencial do laboratório, devido à dilatação do tempo).
Passo 8
Calcular o número de píons que restam a
(considerando dilatação).
- Aplicar a fórmula:
- Substituir
e : - Calcular o expoente:
- Avaliar a exponencial:
- Multiplicar:
Arredondando com consistência, fica cerca de
píons. Comentário: dá para ver que a dilatação aumenta muito a distância percorrida antes do decaimento, então ainda sobra um número significativo.
Passo 9
Repetir o item (c) ignorando a dilatação do tempo (usar somente
).
- Agora use
. - Comprimento médio sem dilatação:
- Multiplicando:
- Número restante a
: - Expoente:
- Exponencial:
- Multiplicando:
Interpretação: sem dilatação praticamente todos decaem antes de 50 m — restam apenas algumas dezenas.
Resposta
(a)
(b)
(c) (aproximadamente
píons)
(d) (aproximadamente
píons)
(b)
(c)
(d)