Um feixe de mésons \gamma^{+}(píons) viaja em um tubo de um acelerador de partículas a uma velocidade \beta= 0,92 em relação ao laboratório. (a) Determine o valor de \gamma para esses píons. (b) O tempo de vida próprio dos píons é 2,6 \times 10^{-8} s. Qual é o tempo de vida no referencial no laboratório? (c) Se o feixe contém inicialmente 50.000 píons, quantas partículas restam 50 m adiante? (d) Qual é a resposta do item (c) se a dilatação dos tempos for ignorada?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade do feixe: \beta = 0,92 (ou seja v = \beta c).
    • Tempo de vida próprio (próprio do píon): \tau_0 = 2,6\times10^{-8}\\ \text{s}.
    • Número inicial de píons: N_0 = 50\,000.
    • Distância para avaliar: x = 50\\ \text{m}.
    • Usarei a velocidade da luz c = 3,00\times10^{8}\\ \text{m/s} (valor padrão).
  • Perguntas:
    (a) Calcular o fator de Lorentz \gamma para \beta = 0,92.
    (b) Determinar o tempo de vida observado no referencial do laboratório (dilatação do tempo).
    (c) Quantas partículas restam a 50\\ \text{m} adiante, levando em conta dilatação do tempo e decaimento exponencial.
    (d) Repetir (c) ignorando a dilatação do tempo (usar apenas \tau_0).

Passo 2

Conceito necessário: fator de Lorentz \gamma.
  • Explicação didática curta: Em relatividade restrita, quantidades de tempo e comprimento entre referenciais em movimento se relacionam pelo fator \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},onde \beta=v/c. Esse \gamma é adimensional e cresce quando \beta se aproxima de 1. Não se assuste: é só uma função da velocidade relativa.
Agora aplicamos a fórmula com \beta=0,92.

Passo 3

Cálculo de \gamma.
  • Primeiro calcule \beta^{2}: \beta^{2}=(0,92)^{2}=0,8464.
  • Calcule 1-\beta^{2}: 1-\beta^{2}=1-0,8464=0,1536.
  • Tire a raiz quadrada: \sqrt{1-\beta^{2}}=\sqrt{0,1536}\approx 0,392.
  • Finalmente \gamma=\frac{1}{0,392}\approx 2,55.
Comentário amigável: portanto os píons parecem viver cerca de 2{,}55 vezes mais no referencial do laboratório do que no próprio referencial deles.

Passo 4

Conceito necessário: dilatação do tempo.
  • A fórmula da dilatação do tempo relaciona o tempo próprio \tau_0 (medido no referencial da partícula) com o tempo observado no laboratório \tau: \tau=\gamma\,\tau_{0}.Aqui \tau é o tempo médio de vida medido no laboratório (média de tempo até decair em laboratório).
Aplicamos com os valores que temos.

Passo 5

Cálculo do tempo de vida no laboratório \tau.
  • Substituindo: \tau=\gamma\,\tau_{0}\approx 2,55\times 2,6\times10^{-8}\\ \text{s}.
  • Multiplicando: \tau \approx 6,63\times10^{-8}\\ \text{s}.
Interpretação: cada píon, em média, vive cerca de 6,63\times10^{-8}\\ \text{s} no referencial do laboratório antes de decair.

Passo 6

Conceito necessário: decaimento exponencial e relação com distância percorrida.
  • O decaimento de partículas instáveis é aleatório, mas o número médio N(t) que restam depois de um tempo t é N(t)=N_{0}\,e^{-t/\tau},onde \tau é o tempo médio de vida no referencial onde se mede t.
  • Se as partículas viajam com velocidade v, o tempo que leva para percorrer uma distância x é t=x/v. Substituindo, N(x)=N_{0}\,\exp\!\left(-\frac{x}{v\,\tau}\right).
  • Definimos o comprimento médio de decaimento (comprimento de atenuação) L = v\,\tau,então N(x)=N_{0}\,e^{-x/L}.
  • Resumo: para saber quantas restam a x, calcular L e usar a exponencial.

Passo 7

Calcular a velocidade v e o comprimento médio L (usando dilatação).
  • Velocidade: v=\beta c = 0,92\times 3,00\times10^{8}\\ \text{m/s}=2,76\times10^{8}\\ \text{m/s}.
  • Comprimento médio de decaimento: L=v\,\tau = 2,76\times10^{8}\times 6,63\times10^{-8}\\ \text{m}.
  • Multiplicando: L \approx 18,3\\ \text{m}.
Interpretação: em média cada píon percorre cerca de 18{,}3\\ \text{m} antes de decair (no referencial do laboratório, devido à dilatação do tempo).

Passo 8

Calcular o número de píons que restam a x=50\\ \text{m} (considerando dilatação).
  • Aplicar a fórmula: N(50)=N_{0}\,e^{-50/L}.
  • Substituir N_{0}=50\,000 e L\approx 18,3\\ \text{m}: N(50)=50\,000\exp\!\left(-\frac{50}{18,3}\right).
  • Calcular o expoente: -\frac{50}{18,3}\approx -2,73.
  • Avaliar a exponencial: e^{-2,73}\approx 0,065.
  • Multiplicar: N(50)\approx 50\,000\times 0,065 \approx 3\,250.
Arredondando com consistência, fica cerca de 3{,}3\times10^{3} píons. Comentário: dá para ver que a dilatação aumenta muito a distância percorrida antes do decaimento, então ainda sobra um número significativo.

Passo 9

Repetir o item (c) ignorando a dilatação do tempo (usar somente \tau_0).
  • Agora use \tau=\tau_{0}=2,6\times10^{-8}\\ \text{s}.
  • Comprimento médio sem dilatação: L_{0}=v\,\tau_{0}=2,76\times10^{8}\times 2,6\times10^{-8}\\ \text{m}.
  • Multiplicando: L_{0}\approx 7,18\\ \text{m}.
  • Número restante a 50\\ \text{m}: N_{0}(50)=50\,000\exp\!\left(-\frac{50}{7,18}\right).
  • Expoente: -\frac{50}{7,18}\approx -6,97.
  • Exponencial: e^{-6,97}\approx 9,45\times10^{-4}.
  • Multiplicando: N_{0}(50)\approx 50\,000\times 9,45\times10^{-4}\approx 47.
Interpretação: sem dilatação praticamente todos decaem antes de 50 m — restam apenas algumas dezenas.

Resposta

(a) \gamma \approx 2,55
(b) \tau \approx 6,63\times10^{-8}\\ \text{s}
(c) N(50)\approx 3{,}3\times10^{3} (aproximadamente 3{,}250 píons)
(d) N(50)\approx 4,7\times10^{1} (aproximadamente 47 píons)

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