Um disco horizontal está girando com velocidade angular \lambda. Existe um relógio no centro do disco e outro a uma distância r do centro. Em um referencial inercial em relação ao qual o centro do disco está em repouso, o relógio fora do centro está se movendo com velocidade \mathrm{u}=\mathrm{r} \omega. Mostre que, de acordo com o fenômeno da dilatação dos tempos da relatividade restrita, a relação entre o intervalo de tempo medido pelo relógio em repouso, \Delta \mathrm{t}_{0}, e o intervalo de tempo medido pelo relógio em movimento, \Delta \mathrm{t}, é dada por:
\frac{\Delta t_{r}-\Delta t_{0}}{\Delta t_{0}} \approx \frac{r^{2} \omega^{2}}{2 c^{2}} \text { se } r \omega \ll c

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
  • Um disco gira com velocidade angular \omega.
  • Existe um relógio no centro do disco (esse relógio está em repouso no referencial inercial tomado aqui) e outro relógio a uma distância r do centro, que se move com velocidade tangencial \;u=r\omega nesse mesmo referencial inercial.
  • Denota-se por \Delta t_{0} o intervalo de tempo medido pelo relógio que está em repouso no centro.
  • Denota-se por \Delta t_{r} o intervalo de tempo medido pelo relógio que está em movimento (o que está a distância r do centro).
  • A condição de aproximação é \;r\omega \ll c.
O enunciado pede que se mostre a relação entre esses intervalos de tempo, em particular a aproximação (para r\omega\ll c):
\frac{\Delta t_{r}-\Delta t_{0}}{\Delta t_{0}} \approx \frac{r^{2}\omega^{2}}{2c^{2}}.

Passo 2

Conceito físico (dilatação do tempo) e definição das quantidades envolvidas.
  • Na relatividade restrita, para um relógio que se move com velocidade constante \;u relativa a um referencial inercial, o tempo próprio do relógio (o tempo que ele marca entre dois eventos que ocorrem no mesmo lugar do relógio) satisfaz
\Delta \tau = \Delta t\,\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}},
onde:
  • \Delta \tau é o tempo próprio do relógio em movimento (o que o relógio em movimento marca);
  • \Delta t é o intervalo de tempo medido no referencial inercial onde o relógio está se movendo (por exemplo o tempo marcado por um relógio em repouso nesse referencial);
  • c é a velocidade da luz.
  • Explicando em palavras: o relógio que se move tem seu tempo próprio “mais curto” que o tempo que passa no referencial em que ele se move — isto é o fenômeno da dilatação do tempo. Aqui \sqrt{1-u^{2}/c^{2}} é o fator de contração do tempo (o inverso de \gamma, em que \gamma=1/\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}).

Passo 3

Aplicar o conceito ao problema: identificar qual é \Delta t e qual é \Delta \tau.
  • No nosso caso o referencial inercial escolhido é aquele no qual o centro do disco está em repouso. Nesse referencial:
    • O relógio do centro está em repouso, então o intervalo que ele mede chamamos de \Delta t_{0}. Esse é o tempo coordenado do referencial inercial (ou seja, o tempo marcado por um relógio em repouso nesse referencial).
    • O relógio na borda (raio r) move-se com velocidade \;u=r\omega. O tempo que esse relógio marca entre dois instantes próprios é o tempo próprio \Delta \tau desse relógio; no enunciado isso é chamado de \Delta t_{r}.
  • Pela fórmula da relatividade para dilatação:
\Delta t_{r} = \Delta t_{0}\,\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}.
  • Substituindo u=r\omega obtemos:
\Delta t_{r} = \Delta t_{0}\,\sqrt{1-\frac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}}.

Passo 4

Fazer a aproximação para r\omega\ll c (expansão binomial) e explicar a matemática usada.
  • Quando o argumento dentro da raiz é próximo de 1, isto é quando x:=\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}\ll1, podemos usar a expansão de primeira ordem da raiz:
\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}\quad\text{para }x\ll1.
  • Aqui x=\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}. Aplicando essa expansão em \Delta t_{r}=\Delta t_{0}\sqrt{1-x} dá:
\Delta t_{r} \approx \Delta t_{0}\left(1-\frac{1}{2}\frac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}\right).
  • Expliquei: a expansão é simplesmente a série de Taylor de \sqrt{1-x} em torno de x=0, mantendo apenas o termo linear em x porque x é pequeno.

Passo 5

Obter a expressão pedida rearranjando e interpretar o sinal.
  • Subtraindo \Delta t_{0} dos dois lados e dividindo por \Delta t_{0} obtemos:
\frac{\Delta t_{r}-\Delta t_{0}}{\Delta t_{0}} \approx -\frac{1}{2}\frac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}.
  • Interpretação física: o sinal negativo mostra que o relógio em movimento marca menos tempo (avança menos) do que o relógio em repouso no mesmo intervalo coordenado \Delta t_{0}; isto é, o relógio na borda vai “atrasar” comparado ao relógio do centro. O módulo da diferença relativa é
\left|\frac{\Delta t_{r}-\Delta t_{0}}{\Delta t_{0}}\right|\approx \frac{r^{2}\omega^{2}}{2c^{2}}.
  • Observação sobre o enunciado: se o enunciado apresenta a expressão sem o sinal negativo, está se referindo provavelmente à magnitude da diferença relativa; a relação correta com sinal é a apresentada acima (negativa), mostrando que o relógio em movimento registra menos tempo.

Resposta

\frac{\Delta t_{r}-\Delta t_{0}}{\Delta t_{0}} \approx -\frac{r^{2}\omega^{2}}{2c^{2}}

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