Um disco horizontal está girando com velocidade angular
. Existe um relógio no centro do disco e outro a uma distância r do centro. Em um referencial inercial em relação ao qual o centro do disco está em repouso, o relógio fora do centro está se movendo com velocidade
. Mostre que, de acordo com o fenômeno da dilatação dos tempos da relatividade restrita, a relação entre o intervalo de tempo medido pelo relógio em repouso,
, e o intervalo de tempo medido pelo relógio em movimento,
, é dada por:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
- Um disco gira com velocidade angular
. - Existe um relógio no centro do disco (esse relógio está em repouso no referencial inercial tomado aqui) e outro relógio a uma distância
do centro, que se move com velocidade tangencial nesse mesmo referencial inercial. - Denota-se por
o intervalo de tempo medido pelo relógio que está em repouso no centro. - Denota-se por
o intervalo de tempo medido pelo relógio que está em movimento (o que está a distância do centro). - A condição de aproximação é
.
O enunciado pede que se mostre a relação entre esses intervalos de tempo, em particular a aproximação (para
):
Passo 2
Conceito físico (dilatação do tempo) e definição das quantidades envolvidas.
- Na relatividade restrita, para um relógio que se move com velocidade constante
relativa a um referencial inercial, o tempo próprio do relógio (o tempo que ele marca entre dois eventos que ocorrem no mesmo lugar do relógio) satisfaz
onde:
-
é o tempo próprio do relógio em movimento (o que o relógio em movimento marca); -
é o intervalo de tempo medido no referencial inercial onde o relógio está se movendo (por exemplo o tempo marcado por um relógio em repouso nesse referencial); -
é a velocidade da luz. - Explicando em palavras: o relógio que se move tem seu tempo próprio “mais curto” que o tempo que passa no referencial em que ele se move — isto é o fenômeno da dilatação do tempo. Aqui
é o fator de contração do tempo (o inverso de , em que ).
Passo 3
Aplicar o conceito ao problema: identificar qual é
e qual é
.
- No nosso caso o referencial inercial escolhido é aquele no qual o centro do disco está em repouso. Nesse referencial:
- O relógio do centro está em repouso, então o intervalo que ele mede chamamos de
. Esse é o tempo coordenado do referencial inercial (ou seja, o tempo marcado por um relógio em repouso nesse referencial). - O relógio na borda (raio
) move-se com velocidade . O tempo que esse relógio marca entre dois instantes próprios é o tempo próprio desse relógio; no enunciado isso é chamado de .
- O relógio do centro está em repouso, então o intervalo que ele mede chamamos de
- Pela fórmula da relatividade para dilatação:
- Substituindo
obtemos:
Passo 4
Fazer a aproximação para
(expansão binomial) e explicar a matemática usada.
- Quando o argumento dentro da raiz é próximo de
, isto é quando , podemos usar a expansão de primeira ordem da raiz:
- Aqui
. Aplicando essa expansão em dá:
- Expliquei: a expansão é simplesmente a série de Taylor de
em torno de , mantendo apenas o termo linear em porque é pequeno.
Passo 5
Obter a expressão pedida rearranjando e interpretar o sinal.
- Subtraindo
dos dois lados e dividindo por obtemos:
- Interpretação física: o sinal negativo mostra que o relógio em movimento marca menos tempo (avança menos) do que o relógio em repouso no mesmo intervalo coordenado
; isto é, o relógio na borda vai “atrasar” comparado ao relógio do centro. O módulo da diferença relativa é
- Observação sobre o enunciado: se o enunciado apresenta a expressão sem o sinal negativo, está se referindo provavelmente à magnitude da diferença relativa; a relação correta com sinal é a apresentada acima (negativa), mostrando que o relógio em movimento registra menos tempo.