31.É convergente a sucessão de termo geral
? Justifica.
32. Conhecendo o termo geral duma sucessão como
, acha a soma dos 20 primeiros termos.
32. Conhecendo o termo geral duma sucessão como
Passo 1
O enunciado traz duas partes sobre sequências numéricas. Na primeira (questão 31) queremos saber se a sequência definida por
é convergente e, em caso afirmativo, qual é seu limite. Na segunda (questão 32), temos a sequência
e queremos calcular a soma dos primeiros vinte termos. Para isso, vamos usar dois conhecimentos principais:
- Como calcular o limite de uma sequência racional quando
. - Como somar uma progressão aritmética (PA).
Passo 2
Para a questão 31, lembramos que, para uma sequência racional da forma
, o limite quando
só depende dos coeficientes de
. Aqui temos numerador
e denominador
.
Calculamos o limite:
Calculamos o limite:
Como o limite existe e vale
, concluímos que a sequência é convergente e converge para
.
Passo 3
Para a questão 32, notamos que
é uma progressão aritmética de primeiro termo
e razão
A soma dos primeiros
termos de uma PA é dada pela fórmula
Calculamos
, logo
Resposta
- Sim, a sequência converge e
. - A soma dos primeiros 20 termos é
.