31.É convergente a sucessão de termo geral a_{n}=\frac{2 n+1}{3 n} ? Justifica.
32. Conhecendo o termo geral duma sucessão como a_{n}=2 n+1, acha a soma dos 20 primeiros termos.

Passo 1

O enunciado traz duas partes sobre sequências numéricas. Na primeira (questão 31) queremos saber se a sequência definida por
a_{n} = \frac{2n + 1}{3n}
é convergente e, em caso afirmativo, qual é seu limite. Na segunda (questão 32), temos a sequência
a_{n} = 2n + 1
e queremos calcular a soma dos primeiros vinte termos. Para isso, vamos usar dois conhecimentos principais:
  1. Como calcular o limite de uma sequência racional quando n\to\infty.
  2. Como somar uma progressão aritmética (PA).

Passo 2

Para a questão 31, lembramos que, para uma sequência racional da forma \frac{\alpha n + \beta}{\gamma n + \delta}, o limite quando n\to\infty só depende dos coeficientes de n. Aqui temos numerador 2n+1 e denominador 3n.
Calculamos o limite:
\lim_{n\to\infty} \frac{2n + 1}{3n} =\lim_{n\to\infty} \frac{2 + \tfrac{1}{n}}{3} =\frac{2 + 0}{3} =\frac{2}{3}.
Como o limite existe e vale \tfrac{2}{3}, concluímos que a sequência é convergente e converge para \tfrac{2}{3}.

Passo 3

Para a questão 32, notamos que a_{n}=2n+1 é uma progressão aritmética de primeiro termo
a_{1}=2\cdot1+1=3
e razão
d = a_{n+1}-a_{n} = [2(n+1)+1] - [2n+1] = 2.
A soma dos primeiros 20 termos de uma PA é dada pela fórmula
S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_{1} + a_{20}\bigr).
Calculamos a_{20}=2\cdot20+1=41, logo
S_{20} = 10\,(3 + 41) = 10 \times 44 = 440.

Resposta

  1. Sim, a sequência converge e \lim_{n\to\infty}a_{n}=\tfrac{2}{3}.
  2. A soma dos primeiros 20 termos é 440.

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