Dadas as seguintes sucessões numéricas, quais delas são limitadas?
x_{n}=3 n-1

Passo 1

O enunciado fornece a sequência \,x_n = 3n - 1 e pede para verificar se ela é limitada. O conteúdo aqui é o conceito de sequência limitada, isto é, precisamos checar se existe uma constante M>0 tal que |x_n|\le M para todo n.

Passo 2

Definição de sequência limitada: dizemos que (x_n) é limitada se existir M>0 com
|x_n|\le M\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Caso contrário, a sequência é não limitada (isto é, “ilimitada”).

Passo 3

Analisamos o termo geral \,x_n = 3n - 1. Esta é uma progressão aritmética de razão 3, logo é estritamente crescente em n. Para n=1,2,3,\dots temos
x_1 = 2,\quad x_2 = 5,\quad x_3 = 8,\;\dots
e, de modo geral, conforme n\to\infty, x_n = 3n-1 \to +\infty.

Passo 4

Como x_n\to+\infty, para qualquer M>0 existe n tal que x_n > M. Logo não é possível encontrar uma única constante M que limite todos os |x_n|. Concluímos que a sequência não é limitada.

Resposta

A sequência \,x_n = 3n - 1 não é limitada.

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