9.31 Dado o vetor genérico
, calcule o rotacional de A em qual quer ponto do espaco.
Passo 1
O enunciado dá o vetor genérico
e pede para calcular o rotacional de
em qualquer ponto do espaço. Vou usar a notação usual
para
, ou seja:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os componentes do vetor são funções só de
e (não dependem de ). - O objetivo é calcular
(rotacional) em coordenadas cartesianas, em qualquer ponto.
Passo 2
Lembrete do que é o rotacional em coordenadas cartesianas: para um campo vetorial
vale
Explicando com calma: cada componente do rotacional é feita por diferenciais parciais dos componentes de
. A derivada parcial
trata
e
como constantes, e assim por diante. Em coordenadas cartesianas os vetores de base
são constantes, por isso só derivamos as componentes escalares
.
Passo 3
Identificar os componentes do campo dado:
Observação útil: como
é zero e nenhuma componente depende de
, muitas derivadas parciais em
serão zero, o que simplifica as contas.
Passo 4
Calcular a componente
do rotacional:
- Primeiro termo:
. Aqui é constante em relação a , então
(lembrando a regra:
.)
- Segundo termo:
porque não depende de .
Portanto
Passo 5
Calcular a componente
do rotacional:
-
pois . -
. Aqui é constante em relação a , então
Logo
Passo 6
Calcular a componente
do rotacional:
-
pois . -
. Aqui é constante em relação a , então
Portanto
Passo 7
Juntando as três componentes obtidas, o rotacional é
Uma forma compacta é
Bom trabalho — apesar de parecer muita notação, aqui as derivadas foram diretas porque cada componente depende só de uma ou duas variáveis e as regras de derivação de
e
são simples.