9.31 Dado o vetor genérico \mathrm{A}=(\cos x)(\operatorname{sen} y) \mathrm{a}_{z}+(\operatorname{sen} x)(\cos y) \mathrm{a}_{y}, calcule o rotacional de A em qual quer ponto do espaco.

Passo 1

O enunciado dá o vetor genérico
\mathbf{A}=(\cos x)(\operatorname{sen} y)\,\mathrm{a}_{z}+(\operatorname{sen} x)(\cos y)\,\mathrm{a}_{y}
e pede para calcular o rotacional de \mathbf{A} em qualquer ponto do espaço. Vou usar a notação usual \sin para \operatorname{sen}, ou seja:
\mathbf{A}=\cos x\,\sin y\,\mathrm{a}_{z}+\sin x\,\cos y\,\mathrm{a}_{y}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os componentes do vetor são funções só de x e y (não dependem de z).
  • O objetivo é calcular \nabla\times\mathbf{A} (rotacional) em coordenadas cartesianas, em qualquer ponto.

Passo 2

Lembrete do que é o rotacional em coordenadas cartesianas: para um campo vetorial \mathbf{A}=A_x\,\mathrm{a}_x+A_y\,\mathrm{a}_y+A_z\,\mathrm{a}_z vale
\nabla\times\mathbf{A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\mathrm{a}_x + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\mathrm{a}_y + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\mathrm{a}_z.
Explicando com calma: cada componente do rotacional é feita por diferenciais parciais dos componentes de \mathbf{A}. A derivada parcial \partial/\partial x trata y e z como constantes, e assim por diante. Em coordenadas cartesianas os vetores de base \mathrm{a}_x,\mathrm{a}_y,\mathrm{a}_z são constantes, por isso só derivamos as componentes escalares A_x,A_y,A_z.

Passo 3

Identificar os componentes do campo dado:
A_x=0,\qquad A_y=\sin x\,\cos y,\qquad A_z=\cos x\,\sin y.
Observação útil: como A_x é zero e nenhuma componente depende de z, muitas derivadas parciais em z serão zero, o que simplifica as contas.

Passo 4

Calcular a componente x do rotacional:
(\nabla\times\mathbf{A})_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}.
  • Primeiro termo: \dfrac{\partial A_z}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(\cos x\,\sin y\big). Aqui \cos x é constante em relação a y, então
\frac{\partial A_z}{\partial y}=\cos x\cdot\frac{d}{dy}(\sin y)=\cos x\cdot\cos y.
(lembrando a regra: \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y.)
  • Segundo termo: \dfrac{\partial A_y}{\partial z}=0 porque A_y=\sin x\,\cos y não depende de z.
    Portanto
(\nabla\times\mathbf{A})_x=\cos x\,\cos y.

Passo 5

Calcular a componente y do rotacional:
(\nabla\times\mathbf{A})_y=\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}.
  • \dfrac{\partial A_x}{\partial z}=0 pois A_x=0.
  • \dfrac{\partial A_z}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(\cos x\,\sin y\big). Aqui \sin y é constante em relação a x, então
\frac{\partial A_z}{\partial x}=\sin y\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)=\sin y\cdot(-\sin x)=-\sin x\,\sin y.
Logo
(\nabla\times\mathbf{A})_y=0-(-\sin x\,\sin y)=\sin x\,\sin y.

Passo 6

Calcular a componente z do rotacional:
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}.
  • \dfrac{\partial A_x}{\partial y}=0 pois A_x=0.
  • \dfrac{\partial A_y}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(\sin x\,\cos y\big). Aqui \cos y é constante em relação a x, então
\frac{\partial A_y}{\partial x}=\cos y\cdot\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos y\cdot\cos x=\cos x\,\cos y.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\cos x\,\cos y.

Passo 7

Juntando as três componentes obtidas, o rotacional é
\nabla\times\mathbf{A}=\cos x\,\cos y\,\mathrm{a}_x+\sin x\,\sin y\,\mathrm{a}_y+\cos x\,\cos y\,\mathrm{a}_z.
Uma forma compacta é
\nabla\times\mathbf{A}=\cos x\,\cos y\;(\mathrm{a}_x+\mathrm{a}_z)+\sin x\,\sin y\;\mathrm{a}_y.
Bom trabalho — apesar de parecer muita notação, aqui as derivadas foram diretas porque cada componente depende só de uma ou duas variáveis e as regras de derivação de \sin e \cos são simples.

Resposta

\nabla\times\mathbf{A}=\cos x\,\cos y\,\mathrm{a}_x+\sin x\,\sin y\,\mathrm{a}_y+\cos x\,\cos y\,\mathrm{a}_z

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