9.35 Dado o vetor genérico \mathrm{A}=2,50 \mathrm{a}_{\theta}+5,00 \mathrm{a}_{\varphi} em coordenadas esféricas, encontre o rotacional de A \mathrm{em}(2, \pi / 6,0).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas esféricas
\mathbf{A}=2,50\,\mathbf{a}_{\theta}+5,00\,\mathbf{a}_{\varphi}
e pede o rotacional de \mathbf{A} no ponto cujas coordenadas são (r,\theta,\varphi)=(2,\pi/6,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Componente radial A_{r}=0.
  • Componente polar (colatitude) A_{\theta}=2,50 (número constante).
  • Componente azimutal A_{\varphi}=5,00 (número constante).
  • O ponto onde avaliar é r=2, \theta=\pi/6, \varphi=0.
O que precisamos devolver: (\nabla\times\mathbf{A})(2,\pi/6,0) escrito nas bases \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}.

Passo 2

Vamos usar a expressão para o rotacional em coordenadas esféricas (convenção das bases \mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi). As componentes do rotacional são dadas por:
(\nabla\times\mathbf{A})_{r}=\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(\sin\theta\,A_{\varphi}\big)-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\varphi}\right]
(\nabla\times\mathbf{A})_{\theta}=\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r\,A_{\varphi}\big)\right]
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r\,A_{\theta}\big)-\frac{\partial A_{r}}{\partial\theta}\right]
Explicando cada símbolo:
  • r,\theta,\varphi são as coordenadas esféricas do ponto: r distância radial, \theta ângulo polar (colatitude, medido a partir do eixo z), \varphi ângulo azimutal.
  • A_{r},A_{\theta},A_{\varphi} são as componentes do campo \mathbf{A} na base local \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}.
  • Derivadas parciais como \partial/\partial r, \partial/\partial\theta, \partial/\partial\varphi são tomadas mantendo as outras coordenadas fixas.
  • As expressões acima dão as componentes do vetor \nabla\times\mathbf{A} também na base local \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}.

Passo 3

Identifico as componentes do campo fornecido (são constantes, não dependem de r,\theta,\varphi):
A_{r}=0,\qquad A_{\theta}=2,50,\qquad A_{\varphi}=5,00.
Como A_{\theta} e A_{\varphi} são constantes, muitas derivadas parciais serão zero. Vou calcular cada componente do rotacional explicitamente.

Passo 4

Cálculo da componente radial (\nabla\times\mathbf{A})_{r}.
Parto da fórmula
(\nabla\times\mathbf{A})_{r}=\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(\sin\theta\,A_{\varphi}\big)-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\varphi}\right].
Substituindo A_{\varphi}=5,00 (constante) e A_{\theta}=2,50 (constante):
\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(\sin\theta\,A_{\varphi}\big)=\frac{\partial}{\partial\theta}\!\big(5,00\sin\theta\big)=5,00\cos\theta,
\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\varphi}=0.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{A})_{r}=\frac{1}{r\sin\theta}\big(5,00\cos\theta\big)=\frac{5,00}{r}\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{5,00}{r}\cot\theta.
Agora avalio no ponto r=2, \theta=\pi/6. Lembro que \cot(\pi/6)=\frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.
Logo
(\nabla\times\mathbf{A})_{r}\Big|_{(2,\pi/6,0)}=\frac{5,00}{2}\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx4,3301.

Passo 5

Cálculo da componente polar (\nabla\times\mathbf{A})_{\theta}.
Uso a fórmula
(\nabla\times\mathbf{A})_{\theta}=\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}-\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r\,A_{\varphi}\big)\right].
Aqui A_{r}=0\Rightarrow \partial A_{r}/\partial\varphi=0. Para a outra derivada
\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r\,A_{\varphi}\big)=\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r\cdot 5,00\big)=5,00.
Assim
(\nabla\times\mathbf{A})_{\theta}=\frac{1}{r}\big(0-5,00\big)=-\frac{5,00}{r}.
Avaliando em r=2:
(\nabla\times\mathbf{A})_{\theta}\Big|_{(2,\pi/6,0)}=-\frac{5,00}{2}=-2,50.

Passo 6

Cálculo da componente azimutal (\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}.
Uso a fórmula
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r\,A_{\theta}\big)-\frac{\partial A_{r}}{\partial\theta}\right].
Como A_{r}=0\Rightarrow \partial A_{r}/\partial\theta=0. E
\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r\,A_{\theta}\big)=\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r\cdot 2,50\big)=2,50.
Logo
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}=\frac{1}{r}\cdot 2,50=\frac{2,50}{r}.
Avaliando em r=2:
(\nabla\times\mathbf{A})_{\varphi}\Big|_{(2,\pi/6,0)}=\frac{2,50}{2}=1,25.

Passo 7

Agora junto as três componentes na base local. Portanto, no ponto (2,\pi/6,0) o rotacional é
(\nabla\times\mathbf{A})(2,\pi/6,0)=\frac{5\sqrt{3}}{2}\,\mathbf{a}_{r}-2,50\,\mathbf{a}_{\theta}+1,25\,\mathbf{a}_{\varphi}.
Opcionalmente, em forma numérica aproximada:
(\nabla\times\mathbf{A})(2,\pi/6,0)\approx4,3301\,\mathbf{a}_{r}-2,50\,\mathbf{a}_{\theta}+1,25\,\mathbf{a}_{\varphi}.

Resposta

\displaystyle (\nabla\times\mathbf{A})(2,\pi/6,0)=\frac{5\sqrt{3}}{2}\,\mathbf{a}_{r}-2,50\,\mathbf{a}_{\theta}+1,25\,\mathbf{a}_{\varphi}

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