9.35 Dado o vetor genérico \mathrm{A}=2,50 \mathrm{a}_{\theta}+5,00 \mathrm{a}_{\varphi} em coordenadas esféricas, encontre o rotacional de A \mathrm{em}(2, \pi / 6,0).
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas esféricas \mathbf{A}=2,50\,\mathbf{a}_{\theta}+5,00\,\mathbf{a}_{\varphi}
e pede o rotacional de \mathbf{A} no ponto cujas coordenadas são (r,\theta,\varphi)=(2,\pi/6,0).
O ponto onde avaliar é r=2, \theta=\pi/6, \varphi=0.
O que precisamos devolver: (\nabla\times\mathbf{A})(2,\pi/6,0) escrito nas bases \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}.
Passo 2
Vamos usar a expressão para o rotacional em coordenadas esféricas (convenção das bases \mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi). As componentes do rotacional são dadas por:
r,\theta,\varphi são as coordenadas esféricas do ponto: r distância radial, \theta ângulo polar (colatitude, medido a partir do eixo z), \varphi ângulo azimutal.
A_{r},A_{\theta},A_{\varphi} são as componentes do campo \mathbf{A} na base local \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}.
Derivadas parciais como \partial/\partial r, \partial/\partial\theta, \partial/\partial\varphi são tomadas mantendo as outras coordenadas fixas.
As expressões acima dão as componentes do vetor \nabla\times\mathbf{A} também na base local \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}.
Passo 3
Identifico as componentes do campo fornecido (são constantes, não dependem de r,\theta,\varphi):