4.32 Dado
, calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cilíndricas
O que é pedido: calcular o divergente
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As componentes do campo são
- As variáveis são
, e (coordenadas cilíndricas). - O objetivo é aplicar a fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas ao campo dado.
Passo 2
Apresentar a fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas e explicar cada termo.
A fórmula do divergente para um campo
em coordenadas cilíndricas é
Explicando os termos de forma simples:
-
: deriva-se em relação a porque os vetores de base mudam de comprimento com ; dividir por corrige essa variação. -
: é a contribuição angular; divide-se por porque variações em correspondem a arcos de comprimento . -
: variação ao longo do eixo , igual às coordenadas cartesianas.
Cada derivada parcial trata só da variável indicada, mantendo as outras fixas.
Passo 3
Reescrever explicitamente as componentes (peguei os coeficientes do enunciado):
Passo 4
Calcular o primeiro termo
.
Primeiro formamos
:
Agora derivamos em relação a
:
pois
é tratado como constante ao derivar em
. Dividindo por
temos
Passo 5
Calcular o segundo termo
.
Temos
. Note que nessa expressão não aparece
:
depende só de
e
depende só de
. Portanto a derivada parcial em relação a
é zero:
Logo
Passo 6
Calcular o terceiro termo
.
Temos
. Ao derivar em
,
é constante, então
Passo 7
Somar as três contribuições e simplificar usando identidade trigonométrica.
Somando:
Usando
obtemos