4.32 Dado \mathrm{A}=2 r \cos ^{2} \varphi \mathrm{a}_{r}+3 r^{2} \operatorname{sen} z \mathrm{a}_{\varphi}+4 z \operatorname{sen}^{2} \varphi \mathrm{a}_{z}, calcule \nabla \cdot \mathrm{A}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cilíndricas
\mathbf{A}=2 r \cos^{2}\varphi\,\mathbf{a}_{r}+3 r^{2}\sin z\,\mathbf{a}_{\varphi}+4 z \sin^{2}\varphi\,\mathbf{a}_{z}.
O que é pedido: calcular o divergente \nabla\cdot\mathbf{A}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes do campo são A_{r}=2 r \cos^{2}\varphi,\qquad A_{\varphi}=3 r^{2}\sin z,\qquad A_{z}=4 z \sin^{2}\varphi.
  • As variáveis são r, \varphi e z (coordenadas cilíndricas).
  • O objetivo é aplicar a fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas ao campo dado.

Passo 2

Apresentar a fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas e explicar cada termo.
A fórmula do divergente para um campo \mathbf{A}=A_{r}\mathbf{a}_{r}+A_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi}+A_{z}\mathbf{a}_{z} em coordenadas cilíndricas é
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r A_{r}\big)+\frac{1}{r}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Explicando os termos de forma simples:
  • \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r A_{r}\big): deriva-se rA_{r} em relação a r porque os vetores de base mudam de comprimento com r; dividir por r corrige essa variação.
  • \frac{1}{r}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}: é a contribuição angular; divide-se por r porque variações em \varphi correspondem a arcos de comprimento r\,d\varphi.
  • \frac{\partial A_{z}}{\partial z}: variação ao longo do eixo z, igual às coordenadas cartesianas.
Cada derivada parcial trata só da variável indicada, mantendo as outras fixas.

Passo 3

Reescrever explicitamente as componentes (peguei os coeficientes do enunciado):
A_{r}=2 r \cos^{2}\varphi,\qquad A_{\varphi}=3 r^{2}\sin z,\qquad A_{z}=4 z \sin^{2}\varphi.

Passo 4

Calcular o primeiro termo \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\big(r A_{r}\big).
Primeiro formamos rA_{r}:
rA_{r}=r\cdot(2 r \cos^{2}\varphi)=2 r^{2}\cos^{2}\varphi.
Agora derivamos em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\big(2 r^{2}\cos^{2}\varphi\big)=2\cdot 2 r\cos^{2}\varphi=4 r\cos^{2}\varphi,
pois \cos^{2}\varphi é tratado como constante ao derivar em r. Dividindo por r temos
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r A_{r}\big)=\frac{1}{r}\cdot 4 r\cos^{2}\varphi=4\cos^{2}\varphi.

Passo 5

Calcular o segundo termo \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}.
Temos A_{\varphi}=3 r^{2}\sin z. Note que nessa expressão não aparece \varphi: 3 r^{2} depende só de r e \sin z depende só de z. Portanto a derivada parcial em relação a \varphi é zero:
\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(3 r^{2}\sin z\big)=0.
Logo
\frac{1}{r}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}=0.

Passo 6

Calcular o terceiro termo \dfrac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Temos A_{z}=4 z \sin^{2}\varphi. Ao derivar em z, \sin^{2}\varphi é constante, então
\frac{\partial A_{z}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(4 z \sin^{2}\varphi\big)=4\sin^{2}\varphi.

Passo 7

Somar as três contribuições e simplificar usando identidade trigonométrica.
Somando:
\nabla\cdot\mathbf{A}=4\cos^{2}\varphi+0+4\sin^{2}\varphi=4\big(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi\big).
Usando \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1 obtemos
\nabla\cdot\mathbf{A}=4.

Resposta

4

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