3.31 Um eixo possui uma rigidez no seu centro k=1,2 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{m} possuindo neste ponto um disco de massa m=200 \mathrm{~kg}. O eixo gira a 3600 rpm , possui fator de amortecimento \zeta=0,05, e uma massa desbalanceada m_{e}=50 \mathrm{gr} com uma excentricidade e=0,20 \mathrm{~m}. Determinar a amplitude de vibração.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido de um grau de liberdade submetido a uma força centrífuga de desbalanceamento. Temos:
– rigidez k=1,2\times10^{6}\\ \mathrm{N/m}
– massa do disco m=200\\ \mathrm{kg}
– fator de amortecimento \zeta=0,05
– massa de desbalanceamento m_{e}=50\\ \mathrm{g}=0,05\\ \mathrm{kg}
– excentricidade e=0,20\\ \mathrm{m}
– rotação 3600\\ \mathrm{rpm}.
O conteúdo aplicado é vibração forçada de sistema SDOF com amortecimento, cuja amplitude no regime permanente é
X = \frac{F_{0}/k}{\sqrt{\bigl(1 - r^{2}\bigr)^{2} + (2\,\zeta\,r)^{2}}}
onde F_{0}=m_{e}\,e\,\omega^{2}, \omega_{n}=\sqrt{k/m} e r=\omega/\omega_{n}.

Passo 2

Calcular a frequência natural angular
\omega_{n} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1,2\times10^{6}}{200}} = \sqrt{6000} \approx77,46\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar a velocidade angular de excitação
\omega = 2\pi\,\frac{3600}{60} = 2\pi\times60 \approx376,99\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a força excitante de desbalanceamento
F_{0} = m_{e}\,e\,\omega^{2} = 0,05\times0,20\times(376{,}99)^{2} \approx1421,3\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular o deslocamento estático equivalente
\delta_{\mathrm{est}} = \frac{F_{0}}{k} = \frac{1421,3}{1,2\times10^{6}} \approx0,001184\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar razão de frequência e fator de amplificação
r = \frac{\omega}{\omega_{n}} = \frac{376{,}99}{77{,}46} \approx4,87,
H = \frac{1}{\sqrt{(1 - r^{2})^{2} + (2\,\zeta\,r)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{(1 - 4,87^{2})^{2} + (2\times0,05\times4,87)^{2}}} \approx0,0441.

Passo 7

Calcular a amplitude da vibração
X = \delta_{\mathrm{est}}\times H \approx0,001184\times0,0441 \approx0,0000522\\ \mathrm{m} =0,0522\\ \mathrm{mm}.

Resposta

A amplitude de vibração é aproximadamente 0,0000522\\ \mathrm{m} (ou 0,0522\\ \mathrm{mm}).

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