[31 / 2 Pontos ] Calcule a derivada da função, onde ela existir, nos seguintes casos:
[1 Ponto ] y=raiz[4]x-2x+2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = raiz[4]x-2x+2
ou seja,
y = l(x-2x+2r)^tfrac14
O conteúdo principal aqui é usar a regra da cadeia junto com a regra do quociente para derivar uma expressão na forma u(x)^1/4.

Passo 2

Definimos
u(x) = x-2x+2,
então
y = l(u(x)r)^tfrac14
Pela regra da cadeia,
y' = 14,u(x)^tfrac14 - 1;u'(x) = 14,u(x)^-tfrac34;u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente:
u(x) = N(x)D(x), N(x)=x-2,;D(x)=x+2,
u'(x) = N'(x),D(x) - N(x),D'(x)D(x)^2 = 1cdot(x+2) - (x-2)cdot1(x+2)^2 = (x+2)-(x-2)(x+2)^2 = 4(x+2)^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em y':
y' = 14,l(x-2x+2r)^-tfrac34 ;4(x+2)^2 = l(x-2x+2r)^-tfrac34,1(x+2)^2

Passo 5

Podemos reescrever l(tfracx-2x+2r)^-tfrac34 como l(tfracx+2x-2r)^tfrac34. Assim,
y' = l(tfracx+2x-2r)^tfrac34(x+2)^2 = (x+2)^tfrac34(x-2)^tfrac34,(x+2)^2 = 1(x-2)^tfrac34,(x+2)^tfrac54

Resposta

y' = 1(x-2)^tfrac34,(x+2)^tfrac54,
válida para x<-2 ou x>2, onde a expressão original e sua derivada existem.

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