[31 / 2 Pontos ] Calcule a derivada da função, onde ela existir, nos seguintes casos:
[11 / 2 Pontos ] f(x)=3^2 x ln (x^2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=3^2x,lnl(x^2r)
onde ela existir. Vamos usar a regra do produto (para u(x)v(x)), a regra da cadeia e a fórmula
ddxl(a^u(x)r)=a^u(x)ln(a),u'(x),
além de
ddxlnl(x^2r)=2xx^2=2x
O domínio de f é xneq0.

Passo 2

Definimos
u(x)=3^2x, v(x)=lnl(x^2r)
Calculamos u' e v':
u'(x)=3^2xln(3)cdotddx(2x)=2,3^2xln(3),
v'(x)=2x

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =2,3^2xln(3),lnl(x^2r) +3^2x,2x

Passo 4

Fatorando 2,3^2x:
f'(x) =2,3^2xl(ln(3),ln(x^2)+1xr)

Resposta

f'(x)=2,3^2xl(ln(3),ln(x^2)+1xr), xneq0

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