[31 / 2 Pontos ] Calcule a derivada da função, onde ela existir, nos seguintes casos:
[1 Ponto ] f(x)=raiz2 x^4+cos raizx.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz2x^4+cosraizx
onde ela existir.
O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos uma raiz quadrada que envolve 2x^4+cosraizx, e dentro desta soma temos outra composição cos(raizx).

Passo 2

Vamos identificar as composições:
1. f(x)=gl(u(x)r) com
g(u)=raizu e u(x)=2x^4+cosraizx
2. Dentro de u(x) há ainda v(x)=raizx e a função w(v)=cos v, de modo que u(x)=2x^4 + wl(v(x)r).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em dois níveis:
f'(x)=g'l(u(x)r)cdot u'(x)
Primeiro,
g'(u)=12raizu Longrightarrow g'l(u(x)r)=12raiz2x^4+cosraizx
Agora,
u(x)=2x^4+cosraizx Longrightarrow u'(x)=ddx(2x^4)+ddxl(cosraizxr)
Temos
ddx(2x^4)=8x^3,
e usando a regra da cadeia em cosraizx:
ddxl(cosraizxr) =-sinl(raizxr)cdotddxl(raizxr) =-sinl(raizxr)cdot12raizx
Portanto,
u'(x)=8x^3 ;-;sin(raizx)2raizx

Passo 4

Juntando tudo:
f'(x) =12raiz2x^4+cosraizx ;l(8x^3 - sin(raizx)2raizxr)
Podemos escrever em forma única:
f'(x) =8x^3 ;-;dfracsin(raizx)2raizx 2raiz2x^4+cosraizx
Note que esta derivada só faz sentido para x>0 (para existir dfrac1raizx e para o denominador raiz2x^4+cosraizxneq0).

Resposta

f'(x) =8x^3 ;-;dfracsin(raizx)2raizx 2raiz2x^4+cosraizx, x>0

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