1.31 (a) Prove as seguintes identidades:
ii. \langle\beta| x|\alpha\rangle=\int d p^{\prime} \phi_{\beta}^{*}\left(p^{\prime}\right) i \hbar \frac{\partial}{\partial p^{\prime}} \phi_{\alpha}\left(p^{\prime}\right) d p^{\prime} onde \phi_{\alpha}\left(p^{\prime}\right)=\left\langle p^{\prime} \mid \alpha\right\rangle e \phi_{\beta}\left(p^{\prime}\right)=\left\langle p^{\prime} \mid \beta\right\rangle são funções de onda no espaço de momento.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em mecânica quântica, o elemento de matriz de x entre dois estados \lvert \alpha\rangle e \lvert \beta\rangle pode ser escrito na base de momento como
\langle \beta \lvert x \rvert \alpha \rangle =\int dp'\,\phi_{\beta}^{*}(p')\,i\hbar\frac{\partial}{\partial p'}\, \phi_{\alpha}(p')
onde \phi_{\alpha}(p')=\langle p'\!\mid \alpha\rangle e \phi_{\beta}(p')=\langle p'\!\mid \beta\rangle. Vamos usar a resolução de identidade na base de momento e a representação do operador x naquele espaço.

Passo 2

Inserimos duas vezes a resolução de identidade \displaystyle \int dp\,\lvert p\rangle\langle p\lvert =1 na expressão de \langle \beta \lvert x \rvert \alpha \rangle:
\langle \beta \lvert x \rvert \alpha \rangle =\int dp'\int dp''\, \langle \beta \lvert p'\rangle\, \langle p'\lvert x \rvert p''\rangle\, \langle p''\!\mid \alpha\rangle.
Em termos de funções de onda, isto é
\langle \beta \lvert x \rvert \alpha \rangle =\int dp'\int dp''\, \phi_{\beta}^{*}(p')\, \langle p'\lvert x \rvert p''\rangle\, \phi_{\alpha}(p'').

Passo 3

Recordamos a representação do operador posição x na base de momentos:
\langle p' \lvert x \rvert p''\rangle =i\hbar\,\frac{\partial}{\partial p'}\,\delta(p'-p'').
Isto decorre do relação canônica [x,p]=i\hbar e do fato de \langle p'\!\mid p''\rangle=\delta(p'-p'').

Passo 4

Substituímos \langle p'\lvert x \rvert p''\rangle na integral:
\langle \beta \lvert x \rvert \alpha \rangle =\int dp'\int dp''\, \phi_{\beta}^{*}(p')\, \bigl[i\hbar\,\partial_{p'}\delta(p'-p'')\bigr]\, \phi_{\alpha}(p'').

Passo 5

Fazemos a integração em p''. Como a derivada \partial_{p'} age apenas sobre \delta(p'-p''), podemos usar
\int dp''\,\partial_{p'}\delta(p'-p'')\,\phi_{\alpha}(p'') =\partial_{p'}\int dp''\,\delta(p'-p'')\,\phi_{\alpha}(p'') =\partial_{p'}\phi_{\alpha}(p').
Não surgem termos de contorno se assumirmos que \phi_{\alpha}(p)\to0 quando \lvert p\rvert\to\infty.

Passo 6

Assim obtemos
\langle \beta \lvert x \rvert \alpha \rangle =\int dp'\, \phi_{\beta}^{*}(p')\, i\hbar\,\frac{\partial}{\partial p'}\,\phi_{\alpha}(p'),
que é exatamente a identidade requerida.

Resposta

\boxed{ \langle \beta \lvert x \rvert \alpha \rangle =\int dp'\,\phi_{\beta}^{*}(p')\,i\hbar\frac{\partial}{\partial p'}\, \phi_{\alpha}(p') }

Exercícios relacionados