1.31 (a) Prove as seguintes identidades:
ii.
onde
e
são funções de onda no espaço de momento.
ii.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em mecânica quântica, o elemento de matriz de
entre dois estados
e
pode ser escrito na base de momento como
onde
e
. Vamos usar a resolução de identidade na base de momento e a representação do operador
naquele espaço.
Passo 2
Inserimos duas vezes a resolução de identidade
na expressão de
:
Em termos de funções de onda, isto é
Passo 3
Recordamos a representação do operador posição
na base de momentos:
Isto decorre do relação canônica
e do fato de
.
Passo 4
Substituímos
na integral:
Passo 5
Fazemos a integração em
. Como a derivada
age apenas sobre
, podemos usar
Não surgem termos de contorno se assumirmos que
quando
.
Passo 6
Assim obtemos
que é exatamente a identidade requerida.