31 Questăo (\mathbf{3}, \mathbf{0}) - No projeto de uma galeria de drenagem sob um aterro rodoviário, por razões estruturais, optou-se por uma forma geométrica tipo capacete, em concreto ( \mathbf{n} \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 0 1 4} ).
a) Para uma vazảo de projeto igual a 6,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e uma declividade de fundo \mathrm{S}_{0}=0,002 \mathrm{~m} / \mathrm{m} dimensione (\mathrm{D}, \mathrm{H}) a seção da galeria para trabalhar com uma lâmina d’ água relativa \mathbf{h} / \mathbf{H}=\mathbf{0 , 5 0}.
b) Calcule a velocidade média do escoamento.
c) Determine a máxima vazão que pode ser transportada
Obs. Assuma EPU. Considere D múltiplo de \mathbf{1 0 0 ~ m m} !

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • Vazão de projeto: Q=6{,}0\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Declividade do fundo: S_{0}=0{,}002.
    • Rugosidade de Manning: n=0{,}014.
    • Lâmina d’água relativa de projeto: \dfrac{h}{H}=0{,}50.
    • Assumir EPU (escoamento permanente e uniforme).
    • Dimensões práticas: D deve ser múltiplo de 100\\ \mathrm{mm}=0{,}1\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    a) Dimensionar a seção (D,H) da galeria para trabalhar com \dfrac{h}{H}=0{,}50.
    b) Calcular a velocidade média do escoamento.
    c) Determinar a máxima vazão que pode ser transportada (pela mesma seção, antes de passar a escoar sob pressão).
Observação/assunção necessária (não fornecida explicitamente no enunciado): assumir que a seção “tipo capacete” pode ser modelada como um conduto circular de diâmetro D. Nesse caso H coincide com D (altura total interna). Vou trabalhar com essa hipótese, que é usual em projetos de galerias/culverts quando se pede D e H.

Passo 2

Explicar o método que vou usar (fórmulas e ideias) — aula rápida e didática sobre Manning e elementos geométricos.
  • Para EPU (escoamento permanente e uniforme) em canal aberto usa-se a equação de Manning:
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada da seção ( \mathrm{m^{2}});
  • R é o raio hidráulico, definido por R=\dfrac{A}{P} ( \mathrm{m}), sendo P o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade do fundo (adimensional); aqui S=S_{0}.
  • Estratégia: expressar A e R da seção circular quando a lâmina é h/H=0{,}50 (isto é, profundidade igual a metade da altura total = raio do círculo), substituir na equação de Manning e resolver para D. Depois obter velocidade média como v=Q/A. Finalmente calcular a vazão máxima considerada aberta (quando a seção fica cheia até o topo, h/H=1).

Passo 3

Geometria da seção circular quando h/H=0{,}50 (profundidade igual ao raio).
  • Para um círculo de diâmetro D o raio é r=\dfrac{D}{2}. Se h=\dfrac{H}{2} e H=D então h=r: o nível d’água corta o centro do círculo — a parte molhada é exatamente metade do círculo.
  • Área molhada (meia-lua = meia circunferência completa em área):
A=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\text{área do círculo}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\pi r^{2}=\dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}=\dfrac{\pi D^{2}}{8}.áí
  • Perímetro molhado (meia circunferência):
P=\dfrac{1}{2}\cdot(\text{circunferência})=\dfrac{1}{2}\cdot\pi D=\dfrac{\pi D}{2}.ê
  • Raio hidráulico:
R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{\dfrac{\pi D^{2}}{8}}{\dfrac{\pi D}{2}}=\dfrac{D}{4}.
(Observação útil: para seção circular tanto cheia quanto meio-cheia o R acaba sendo D/4 — no caso meio-cheio deu exatamente D/4.)

Passo 4

Montar a equação de Manning com A e R encontrados e isolar D.
  • Substituindo A=\dfrac{\pi D^{2}}{8} e R=\dfrac{D}{4} em
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}
obtém-se
Q=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{\pi D^{2}}{8}\cdot\left(\dfrac{D}{4}\right)^{2/3}\cdot S^{1/2}.
  • Agrupando as potências de D:
D^{2}\cdot D^{2/3}=D^{8/3},
logo a equação fica
Q=\left[\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{\pi}{8}\cdot 4^{-2/3}\cdot S^{1/2}\right]D^{8/3}.
  • Defino a constante numérica
C=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{\pi}{8}\cdot 4^{-2/3}\cdot S^{1/2},
então
D^{8/3}=\dfrac{Q}{C}\quad\Rightarrow\quad D=\left(\dfrac{Q}{C}\right)^{3/8}.

Passo 5

Cálculo numérico da constante e solução para D.
  • Primeiro calculemos a constante C com os valores dados: n=0{,}014 e S=S_{0}=0{,}002.
S^{1/2}=\sqrt{0{,}002}=0{,}0447213595\ldots
\dfrac{\pi}{8}\approx 0{,}3926990817,\qquad 4^{-2/3}\approx0{,}39685026299.
C=\dfrac{1}{0{,}014}\cdot 0{,}3926990817\cdot 0{,}39685026299\cdot 0{,}0447213595 \approx 0{,}497999\\ (\text{unidades de }\mathrm{m^{-8/3}s^{-1}}).
  • Agora
D^{8/3}=\dfrac{Q}{C}=\dfrac{6{,}0}{0{,}497999}\approx 12{,}0482.
D=\left(12{,}0482\right)^{3/8}\approx 2{,}54\\ \mathrm{m}.
  • Como o enunciado pede que D seja múltiplo de 100\\ \mathrm{mm}=0{,}1\\ \mathrm{m}, escolhemos o valor prático mais próximo: \boxed{D=2{,}5\\ \mathrm{m}}.
  • Para uma seção circular H coincide com D, então \boxed{H=2{,}5\\ \mathrm{m}}.

Passo 6

Calcular a velocidade média do escoamento (item b).
  • Com D=2{,}5\\ \mathrm{m} e escoamento meio-cheio ( h/H=0{,}5), a área molhada é
A=\dfrac{\pi D^{2}}{8}=\dfrac{\pi\,(2{,}5)^{2}}{8}=\pi\cdot 0{,}78125\approx 2{,}452\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média
v=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{6{,}0}{2{,}452}\approx 2{,}45\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Determinar a máxima vazão que pode ser transportada (item c).
  • Para um conduto circular aberto com mesma declividade e mesma rugosidade, a vazão aumenta quando a seção vai enchendo: no caso particular da geometria circular, a vazão com o conduto completamente cheio (fluxo até o topo; limite antes de escoamento pressurizado) tem área dupla da metade-cheia, enquanto o raio hidráulico para círculo cheio é R=\dfrac{D}{4} (mesmo valor do caso meio-cheio). Assim a vazão cheia é exatamente o dobro da vazão meio-cheia obtida antes:
Q_{\max}=2\cdot Q_{\text{(meio-cheio)}}=2\cdot 6{,}0=12{,}0\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Alternativamente, pode-se calcular diretamente com A_{\text{cheio}}=\dfrac{\pi D^{2}}{4} e R=D/4 e aplicar Manning; o resultado é o dobro do caso meio-cheio.

Resposta

a) D=2{,}5\\ \mathrm{m}, H=2{,}5\\ \mathrm{m}
b) v\approx 2{,}45\\ \mathrm{m/s}
c) Q_{\max}=12{,}0\\ \mathrm{m^{3}/s}

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