Pretende-se construir uma galeria em tubos de concreto para veicular uma vazão de 0,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} com uma declividade igual a 0,002 \mathrm{~m} / \mathrm{m}.
a) Admitindo um coeficiente de Manning igual a 0,013 e lâmina de água h/D aproximadamente igual a 55 \%, determine o diâmetro comercial para essa galeria.
b) Sabendo-se que haverá um crescimento na vazão de cerca de 20 \% e que, devido ao “envelhecimento do concreto”, o coeficiente de Manning passará a ser 0,016 , calcule a lâmina máxima esperada. Para essa condição determine a velocidade média.
bs.: diâmetros comerciais variam entre 400 e 1500 \mathrm{~mm}, \operatorname{com} \Delta \mathrm{D}=100 \mathrm{~mm}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Vazão requerida inicial: Q=0,5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Declividade: S=0,002\\ \mathrm{m/m}.
  • Coeficiente de Manning inicial: n=0,013.
  • Lâmina relativa dada: h/D \approx 55\% = 0{,}55.
  • Diâmetros comerciais disponíveis: de 400\\ \mathrm{mm} a 1500\\ \mathrm{mm} com passo \Delta D=100\\ \mathrm{mm}.
O que o enunciado pede:
a) Admitindo n=0{,}013 e h/D=0{,}55, determinar o diâmetro comercial para a galeria que transporte Q=0{,}5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
b) Sabendo que a vazão aumenta 20\% (ou seja Q_{\text{novo}}=1{,}2\cdot Q) e que n passa a 0{,}016, calcular a lâmina máxima esperada (valor de h ou h/D) e, para essa condição, determinar a velocidade média.

Passo 2

Apresento as fórmulas e a geometria que vamos usar (explicando cada símbolo).
Fórmula de Manning para escoamento livre em canal (ou seção qualquer):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada da seção ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico, definido por R=\dfrac{A}{P} ( \mathrm{m});
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade (adimensional) e S^{1/2}=\sqrt{S}.
Para uma seção circular parcialmente cheia (diâmetro D, raio r=D/2, lâmina h) usamos a trigonometria da seção submersa:
  • Defina y=h/D (lâmina relativa).
  • Coloca-se \varphi (meio ângulo central da zona submersa) por
\varphi=\operatorname{arccos}\!\bigl(1-2y\bigr),
em radianos. (Explicação rápida: a distância do centro até a superfície livre é r-h; \cos\varphi=(r-h)/r=1-2y.)
  • Ângulo central total submerso = 2\varphi.
  • Área molhada da seção (segmento circular):
A = r^2\left(2\varphi-\sin 2\varphi\right)\!/2 \quad\text{(o mesmo que }\;A=r^2(\varphi-\sin\varphi\cos\varphi)\text{)}.
  • Perímetro molhado (comprimento do arco submerso):
P=2r\varphi.
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}.
Com isso podemos calcular Q para qualquer D e y=h/D. No caso inicial temos y=0{,}55 conhecido; então A e R ficam proporcionais a potências de D e podemos resolver para D.

Passo 3

Determinar expressão simplificada para Q quando y=0{,}55 (usarei D em metros).
Primeiro calculo trigonométrico para y=0{,}55:
\varphi=\operatorname{arccos}(1-2\cdot0{,}55)=\operatorname{arccos}(-0{,}1)\approx1{,}67096375\\ \text{rad}.
Agora as fórmulas com r=D/2:
A=r^2\frac{2\varphi-\sin 2\varphi}{2}, \qquad P=2r\varphi.
Calculando numericamente os coeficientes (neste passo fiz as contas detalhadas):
  • \sin 2\varphi=\sin(3{,}3419275)\approx-0{,}198669.
  • Logo
2\varphi-\sin 2\varphi \approx 3{,}3419275-(-0{,}198669)=3{,}5405965.
Assim
A=r^2\frac{3{,}5405965}{2}=r^2\cdot1{,}77029825.
Como r=D/2,
A= \frac{D^2}{4}\cdot1{,}77029825=0{,}44257456\,D^{2}.
Perímetro molhado:
P=2r\varphi = D\varphi \approx D\cdot1{,}67096375.
Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{0{,}44257456\,D^{2}}{1{,}67096375\,D}=0{,}26492798\,D.
Substituindo em Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}S^{1/2} = \frac{1}{n}\left(0{,}44257456\,D^{2}\right)\left(0{,}26492798\,D\right)^{2/3}\sqrt{S}.
Agrupando potências de D:
Q=\frac{1}{n}\cdot C\cdot D^{8/3}\cdot\sqrt{S},
onde numericamente
C=0{,}44257456\cdot 0{,}26492798^{2/3}\approx0{,}182732.
Logo, com S=0{,}002 e \sqrt{S}\approx0{,}04472136,
Q \approx \frac{1}{n}\cdot 0{,}0081680\;D^{8/3}.
Agora impondo Q=0{,}5\\ \mathrm{m^{3}/s} e n=0{,}013:
0{,}5 = \frac{1}{0{,}013}\cdot 0{,}0081680\;D^{8/3}.
Calculo:
\frac{1}{0{,}013}=76{,}92308,\qquad 76{,}92308\cdot0{,}0081680\approx0{,}62831,
então
D^{8/3}=\frac{0{,}5}{0{,}62831}\approx0{,}7957.
Tomando potência D=(0{,}7957)^{3/8} (pois 3/8 é a recíproca de 8/3):
D\approx0{,}918\\ \mathrm{m}.
Escolha do diâmetro comercial: como os diâmetros comerciais têm passo de 100\\ \mathrm{mm} (400, 500, \dots, 900, 1000, … mm) e o valor calculado é 0{,}918\\ \mathrm{m}, o diâmetro comercial imediatamente superior e que garante a vazão é D=1{,}0\\ \mathrm{m} (1000 mm). (Explicação: embora 0,918 m seja mais próximo de 900 mm, a seção de 900 mm NÃO é suficiente para transportar 0{,}5\\ \mathrm{m^3/s} com as condições dadas; portanto adota-se o próximo diâmetro comercial maior, 1000\\ \mathrm{mm}, para garantir capacidade.)
Verificação rápida: para D=0{,}9\\ \mathrm{m} a fórmula dá Q\approx0{,}475\\ \mathrm{m^3/s}<0{,}5; para D=1{,}0\\ \mathrm{m} Q\approx0{,}628\\ \mathrm{m^3/s}>0{,}5. Logo D=1{,}0\\ \mathrm{m} é a escolha segura.

Passo 4

Parte (b): aumento da vazão em 20\% e n passa a 0{,}016. Com D comercial escolhido =1{,}0\\ \mathrm{m} vamos determinar a lâmina máxima h (ou h/D) tal que:
Q_{\text{novo}}=1{,}2\cdot0{,}5=0{,}6\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Agora D fixo, temos que resolver a equação não linear em y=h/D:
Q(y)=\frac{1}{n}\,A(y)\,R(y)^{2/3}\sqrt{S}=0{,}6,
onde A(y) e R(y)=A(y)/P(y) são funções de y descritas no Passo 2 (com D=1{,}0\\ \mathrm{m}, r=0{,}5\\ \mathrm{m}).
Método prático (usado aqui): tentativa (valores de y) com interpolação linear entre dois ensaios até convergir. Apresento os ensaios mais relevantes (contas detalhadas):
  • Para y=0{,}55 (valor inicial) com n=0{,}016 obteve-se (usando os coeficientes do Passo 3) Q\approx0{,}5105\\ \mathrm{m^{3}/s} (aumentou n e, portanto, a capacidade diminuiu relativamente ao caso anterior).
  • Testei y=0{,}61:
    • \varphi=\operatorname{arccos}(1-2\cdot0{,}61)\approx1{,}793\\ \text{rad}.
    • Calculei A\approx0{,}50211\\ \mathrm{m^2}, P\approx1{,}793\\ \mathrm{m}, R\approx0{,}2800\\ \mathrm{m}.
    • Substituindo em Manning com n=0{,}016 e \sqrt{S}=0{,}04472136 obteve-se Q\approx0{,}6014\\ \mathrm{m^{3}/s} (um pouco acima de 0{,}6).
  • Testei y=0{,}608:
    • \varphi\approx1{,}7891\\ \text{rad}.
    • A\approx0{,}50014\\ \mathrm{m^2}, P\approx1{,}7891\\ \mathrm{m}, R\approx0{,}2796\\ \mathrm{m}.
    • Substituindo, Q\approx0{,}5976\\ \mathrm{m^{3}/s} (um pouco abaixo de 0{,}6).
Fazendo uma interpolação linear entre os pontos (y,Q)=(0{,}608,0{,}5976) e (0{,}61,0{,}6014) para atingir Q=0{,}6 obtém-se:
y\approx0{,}608+\frac{0{,}6-0{,}5976}{0{,}6014-0{,}5976}\cdot(0{,}61-0{,}608)\approx0{,}6093.
Portanto a lâmina relativa máxima esperada é aproximadamente
\frac{h_{\max}}{D}\approx0{,}609\quad\text{ou}\quad h_{\max}\approx0{,}609\cdot1{,}0\\ \mathrm{m}=0{,}609\\ \mathrm{m}.
Agora calculo a velocidade média para essa condição:
  • Área correspondente (usando y\approx0{,}6093) deu A\approx0{,}50134\\ \mathrm{m^2} (cálculo detalhado conforme fórmulas do Passo 2).
  • Velocidade média v=\dfrac{Q_{\text{novo}}}{A}=\dfrac{0{,}6}{0{,}50134}\approx1{,}197\\ \mathrm{m/s}.
Verificação alternativa (Manning para velocidade média):
v=\frac{Q}{A}=\frac{1}{n}\,R^{2/3}\sqrt{S},
usando R\approx0{,}2798\\ \mathrm{m} (para y\approx0{,}6093) e n=0{,}016, obtém-se o mesmo v\approx1{,}20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Resumindo os resultados finais com valores arredondados de forma prática (e com unidades apropriadas), e lembrando que a escolha do diâmetro comercial foi conservadora (escolheu-se o próximo diâmetro comercial acima do calculado para garantir capacidade).

Resposta

(a) D_{\text{comercial}}=1{,}0\\ \mathrm{m} (1000 mm).
(b) h_{\max}\approx0{,}609\\ \mathrm{m} (ou h/D\approx0{,}609); velocidade média v\approx1{,}20\\ \mathrm{m/s}.

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