Pretende-se construir uma galeria em tubos de concreto para veicular uma vazão de
com uma declividade igual a
.
a) Admitindo um coeficiente de Manning igual a 0,013 e lâmina de água h/D aproximadamente igual a
, determine o diâmetro comercial para essa galeria.
b) Sabendo-se que haverá um crescimento na vazão de cerca de
e que, devido ao “envelhecimento do concreto”, o coeficiente de Manning passará a ser 0,016 , calcule a lâmina máxima esperada. Para essa condição determine a velocidade média.
bs.: diâmetros comerciais variam entre 400 e
.
a) Admitindo um coeficiente de Manning igual a 0,013 e lâmina de água h/D aproximadamente igual a
b) Sabendo-se que haverá um crescimento na vazão de cerca de
bs.: diâmetros comerciais variam entre 400 e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Vazão requerida inicial:
. - Declividade:
. - Coeficiente de Manning inicial:
. - Lâmina relativa dada:
. - Diâmetros comerciais disponíveis: de
a com passo .
O que o enunciado pede:
a) Admitindo e
, determinar o diâmetro comercial para a galeria que transporte
.
b) Sabendo que a vazão aumenta (ou seja
) e que
passa a
, calcular a lâmina máxima esperada (valor de
ou
) e, para essa condição, determinar a velocidade média.
a) Admitindo
b) Sabendo que a vazão aumenta
Passo 2
Apresento as fórmulas e a geometria que vamos usar (explicando cada símbolo).
Fórmula de Manning para escoamento livre em canal (ou seção qualquer):
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área molhada da seção ( ); -
é o raio hidráulico, definido por ( ); -
é o perímetro molhado ( ); -
é a declividade (adimensional) e .
Para uma seção circular parcialmente cheia (diâmetro
, raio
, lâmina
) usamos a trigonometria da seção submersa:
- Defina
(lâmina relativa). - Coloca-se
(meio ângulo central da zona submersa) por
em radianos. (Explicação rápida: a distância do centro até a superfície livre é
;
.)
- Ângulo central total submerso =
. - Área molhada da seção (segmento circular):
- Perímetro molhado (comprimento do arco submerso):
- Raio hidráulico:
Com isso podemos calcular
para qualquer
e
. No caso inicial temos
conhecido; então
e
ficam proporcionais a potências de
e podemos resolver para
.
Passo 3
Determinar expressão simplificada para
quando
(usarei
em metros).
Primeiro calculo trigonométrico para
:
Agora as fórmulas com
:
Calculando numericamente os coeficientes (neste passo fiz as contas detalhadas):
-
. - Logo
Assim
Como
,
Perímetro molhado:
Raio hidráulico:
Substituindo em Manning:
Agrupando potências de
:
onde numericamente
Logo, com
e
,
Agora impondo
e
:
Calculo:
então
Tomando potência
(pois
é a recíproca de
):
Escolha do diâmetro comercial: como os diâmetros comerciais têm passo de
(400, 500, \dots, 900, 1000, … mm) e o valor calculado é
, o diâmetro comercial imediatamente superior e que garante a vazão é
(1000 mm). (Explicação: embora 0,918 m seja mais próximo de 900 mm, a seção de 900 mm NÃO é suficiente para transportar
com as condições dadas; portanto adota-se o próximo diâmetro comercial maior,
, para garantir capacidade.)
Verificação rápida: para
a fórmula dá
; para
dá
. Logo
é a escolha segura.
Passo 4
Parte (b): aumento da vazão em
e
passa a
. Com
comercial escolhido
vamos determinar a lâmina máxima
(ou
) tal que:
Agora
fixo, temos que resolver a equação não linear em
:
onde
e
são funções de
descritas no Passo 2 (com
,
).
Método prático (usado aqui): tentativa (valores de
) com interpolação linear entre dois ensaios até convergir. Apresento os ensaios mais relevantes (contas detalhadas):
- Para
(valor inicial) com obteve-se (usando os coeficientes do Passo 3) (aumentou e, portanto, a capacidade diminuiu relativamente ao caso anterior). - Testei
: -
. - Calculei
, , . - Substituindo em Manning com
e obteve-se (um pouco acima de ).
-
- Testei
: -
. -
, , . - Substituindo,
(um pouco abaixo de ).
-
Fazendo uma interpolação linear entre os pontos
e
para atingir
obtém-se:
Portanto a lâmina relativa máxima esperada é aproximadamente
Agora calculo a velocidade média para essa condição:
- Área correspondente (usando
) deu (cálculo detalhado conforme fórmulas do Passo 2). - Velocidade média
.
Verificação alternativa (Manning para velocidade média):
usando
(para
) e
, obtém-se o mesmo
.
Passo 5
Resumindo os resultados finais com valores arredondados de forma prática (e com unidades apropriadas), e lembrando que a escolha do diâmetro comercial foi conservadora (escolheu-se o próximo diâmetro comercial acima do calculado para garantir capacidade).
Resposta
(a)
(1000 mm).
(b) (ou
); velocidade média
.
(b)