Um canal trapezoidal com talude
e revestimento em pedra argamassada (
) deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de projeto de
, com uma declividade de fundo
.
a) Dimensionar o canal de minimo perimetro molhado (
).
b) Com as dimensöes encontradas
- Verificar a vazăo transportada
- Deierminar a velocidade media e a velocidade de atrito
c) Determinar a altura da lâmina d’água para uma vazäo metade a de projeto
a) Dimensionar o canal de minimo perimetro molhado (
b) Com as dimensöes encontradas
c) Determinar a altura da lâmina d’água para uma vazäo metade a de projeto
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claro e separado):
- Dados numéricos (pego do enunciado):
- Vazão de projeto:
. - Talude:
(ou seja, cada lateral tem declividade horizontal/vertical igual a ). - Rugosidade (Manning):
. - Declividade do fundo:
.
- Vazão de projeto:
- O que o enunciado pede:
a) Dimensionar o canal de menor perímetro molhado, ou seja encontrar o fundoe a lâmina normal que minimizam o perímetro molhado mantendo a vazão em regime uniforme.
b) Com as dimensões encontradas:- Verificar a vazão transportada (calcular
pelo Manning e conferir). - Determinar a velocidade média
e a velocidade de atrito .
c) Para o canal com as dimensões projetadas, encontrar a lâminaquando a vazão é metade da de projeto .
- Verificar a vazão transportada (calcular
Observações úteis que vou usar (explicarei a teoria nos próximos passos):
- Área da seção trapezoidal:
. - Perímetro molhado:
. - Raio hidráulico:
. - Fórmula de Manning para escoamento uniforme:
Passo 2
Entendendo como achar o canal de menor perímetro molhado para a vazão dada (ideia geral e matemática empregada, passo a passo didático).
- O problema é: dentre todas as seções trapezoidais (variando
e ) que transportem a vazão em regime uniforme com os parâmetros fixos, escolher a que minimize o perímetro molhado . - Método: escrever as expressões geométricas
e , usar a equação de Manning como restrição (ligando e à vazão ), e minimizar sob essa restrição. Uma forma sistemática é usar multiplicadores de Lagrange — isto dá uma condição simples entre e que facilita muito a resolução. Vou mostrar a dedução de forma clara.
Passo técnico (a dedução):
- Escrevemos a restrição da vazão na forma
Explicação: começamos de
. Multiplicando e reorganizando obtemos
, daí o
.
- Definimos a função a minimizar
com a restrição . - Montamos o Lagrangiano
e impomos e . - Calculamos derivadas (mostrando as quantidades parciais):
-
, . -
, . Vou chamar (com temos ).
-
- Após aplicar as equações das derivadas e eliminar o multiplicador
, chega-se à condição simples (mostro os passos algébricos resumidos): - Das duas equações obtidas, eliminando
, obtemos a relação
- Isolando
:
Comentário didático: essa expressão é bonita porque dá diretamente a proporção entre fundo e profundidade que minimiza o perímetro para as condições impostas. Para temos , portanto é um múltiplo de . - Das duas equações obtidas, eliminando
Passo 3
Aplicar a relação de otimização ao caso
e obter as fórmulas reduzidas para
e
, e então usar Manning para achar
.
- Para
: . - A relação ótima é
. Para abreviar, defina os fatores: - Substituindo
na expressão de e :
Expressões úteis: ambas são proporcionais a potências de
.
- Substituindo em Manning (forma com
), observa-se que a dependência em fica . Escrevendo: onde - A partir da equação de Manning:
Isolando : - Agora substituo os valores numéricos:
-
. - Calcular
:
-
- Calcular
. - Logo
- Com
temos pela relação otimizada:
Passo 4
Calcular e verificar as grandezas hidráulicas com as dimensões encontradas (parte b).
- Com os valores obtidos (arredondados para apresentação):
- Calcular área e perímetro:
- Verificar a vazão usando Manning:
- Calculando numericamente (com as potências indicadas) dá
(diferenças de arredondamento no passo-a-passo levam a variações muito pequenas; valor calculado com os números acima fica cerca de a , i.e. consistente com ).
- Calculando numericamente (com as potências indicadas) dá
- Velocidade média:
- Velocidade de atrito (shear velocity) — conceito e cálculo:
- A velocidade de atrito é definida por
, onde é o raio hidráulico e . - Calcule
:
- A velocidade de atrito é definida por
Passo 5
Determinar a lâmina para vazão
mantendo
e
fixos (parte c). Método e cálculo numérico por tentativa (iteração simples):
- Agora o canal tem
(fixo) e . Para devemos encontrar tal que onde e . - Procedimento prático: testar valores de
e ajustar por interpolação. Fiz essa iteração e encontrei: - Verificação numérica (valores correspondentes):
- Velocidade média e velocidade de atrito para essa condição:
Resposta
(a)
(b) Vazão verificada
Velocidade média
Velocidade de atrito
(c) Para
: