Um canal trapezoidal com talude \mathbf{z = 1} e revestimento em pedra argamassada ( n=0.025 ) deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de projeto de 20,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, com uma declividade de fundo \mathrm{S}_{0}=0,0004 \mathrm{~m} / \mathrm{m}.
a) Dimensionar o canal de minimo perimetro molhado ( \mathbf{b}, \mathbf{h}_{\mathbf{n}} ).
b) Com as dimensöes encontradas
  • Verificar a vazăo transportada
  • Deierminar a velocidade media e a velocidade de atrito
    c) Determinar a altura da lâmina d’água para uma vazäo metade a de projeto

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claro e separado):
  • Dados numéricos (pego do enunciado):
    • Vazão de projeto: Q=20{,}0\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Talude: z=1 (ou seja, cada lateral tem declividade horizontal/vertical igual a 1).
    • Rugosidade (Manning): n=0{,}025.
    • Declividade do fundo: S_0=0{,}0004.
  • O que o enunciado pede:
    a) Dimensionar o canal de menor perímetro molhado, ou seja encontrar o fundo b e a lâmina normal h_n que minimizam o perímetro molhado mantendo a vazão em regime uniforme.
    b) Com as dimensões encontradas:
    • Verificar a vazão transportada (calcular Q pelo Manning e conferir).
    • Determinar a velocidade média \bar{V} e a velocidade de atrito u_*.
      c) Para o canal com as dimensões projetadas, encontrar a lâmina h quando a vazão é metade da de projeto \dfrac{Q}{2}=10{,}0\\ \mathrm{m^3/s}.
Observações úteis que vou usar (explicarei a teoria nos próximos passos):
  • Área da seção trapezoidal: \displaystyle A = b\,h + z\,h^2.
  • Perímetro molhado: \displaystyle P = b + 2 h \sqrt{1+z^2}.
  • Raio hidráulico: \displaystyle R=\dfrac{A}{P}.
  • Fórmula de Manning para escoamento uniforme: \displaystyle Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2}=\dfrac{1}{n} A^{5/3} P^{-2/3} S_0^{1/2}.

Passo 2

Entendendo como achar o canal de menor perímetro molhado para a vazão dada (ideia geral e matemática empregada, passo a passo didático).
  • O problema é: dentre todas as seções trapezoidais (variando b e h) que transportem a vazão Q em regime uniforme com os parâmetros n,S_0,z fixos, escolher a que minimize o perímetro molhado P.
  • Método: escrever as expressões geométricas A(b,h) e P(b,h), usar a equação de Manning como restrição (ligando A e P à vazão Q), e minimizar P sob essa restrição. Uma forma sistemática é usar multiplicadores de Lagrange — isto dá uma condição simples entre b e h que facilita muito a resolução. Vou mostrar a dedução de forma clara.
Passo técnico (a dedução):
  • Escrevemos a restrição da vazão na forma A^{5}=K^3 P^{2},\qquad K:=\frac{nQ}{\sqrt{S_0}}.
Explicação: começamos de \;Q=\dfrac{1}{n}A^{5/3}P^{-2/3}S_0^{1/2}\;. Multiplicando e reorganizando obtemos \;A^{5}= (nQ/\sqrt{S_0})^{3} P^{2}, daí o K.
  • Definimos a função a minimizar P(b,h) com a restrição g(b,h):=A^{5}-K^{3}P^{2}=0.
  • Montamos o Lagrangiano \mathcal{L}=P +\lambda\,(A^{5}-K^{3}P^{2}) e impomos \partial\mathcal{L}/\partial b=0 e \partial\mathcal{L}/\partial h=0.
  • Calculamos derivadas (mostrando as quantidades parciais):
    • \partial A/\partial b=h, \partial A/\partial h=b+2zh.
    • \partial P/\partial b=1, \partial P/\partial h=2\sqrt{1+z^2}. Vou chamar \displaystyle s:=\sqrt{1+z^2} (com z=1 temos s=\sqrt{2}).
  • Após aplicar as equações das derivadas e eliminar o multiplicador \lambda, chega-se à condição simples (mostro os passos algébricos resumidos):
    • Das duas equações obtidas, eliminando \lambda, obtemos a relação
    b+2h = 2 s\, h.
    • Isolando b:
    \boxed{b = 2(s-1)\,h.}Comentário didático: essa expressão é bonita porque dá diretamente a proporção entre fundo e profundidade que minimiza o perímetro para as condições impostas. Para z=1 temos s=\sqrt{2}, portanto b é um múltiplo de h.

Passo 3

Aplicar a relação de otimização ao caso z=1 e obter as fórmulas reduzidas para A e P, e então usar Manning para achar h_n.
  • Para z=1: s=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}.
  • A relação ótima é \displaystyle b = 2(\sqrt{2}-1)\,h. Para abreviar, defina os fatores: 2s-1 = 2\sqrt{2}-1,\qquad 4s-2 = 4\sqrt{2}-2.
  • Substituindo b na expressão de A e P: A = b h + z h^2 = \bigl(2(s-1)h\bigr)h + h^2 = (2s-1)\,h^2.
P = b + 2 s h = 2(s-1)h + 2 s h = (4s-2)\,h.
Expressões úteis: ambas são proporcionais a potências de h.
  • Substituindo em Manning (forma com A^{5/3}P^{-2/3}), observa-se que a dependência em h fica \propto h^{8/3}. Escrevendo: A^{5/3}P^{-2/3} = C\; h^{8/3},onde C = \frac{(2s-1)^{5/3}}{(4s-2)^{2/3}}.
  • A partir da equação de Manning: Q=\frac{1}{n} S_0^{1/2} \, C \, h^{8/3}.Isolando h: \boxed{h = \left(\dfrac{Q\,n}{S_0^{1/2}\,C}\right)^{3/8}.}
  • Agora substituo os valores numéricos:
    • z=1 \Rightarrow s=\sqrt{2}\approx 1{,}41421356.
    • Calcular C: 2s-1 = 2\sqrt{2}-1 \approx 1{,}82842712,
4s-2 = 4\sqrt{2}-2 \approx 3{,}65685425.
C=\dfrac{(1{,}82842712)^{5/3}}{(3{,}65685425)^{2/3}}\approx 1{,}151895.
  • Calcular K:=\dfrac{Q n}{\sqrt{S_0}} = \dfrac{20\cdot 0{,}025}{\sqrt{0{,}0004}} = \dfrac{0{,}5}{0{,}02}=25.
  • Logo h = \left(\dfrac{25}{C}\right)^{3/8} \approx \left(\dfrac{25}{1{,}151895}\right)^{3/8} \approx 3{,}17\\ \mathrm{m}.
  • Com h_n temos b pela relação otimizada: b = 2(\sqrt{2}-1)\,h \approx 0{,}82842712\cdot 3{,}17 \approx 2{,}63\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular e verificar as grandezas hidráulicas com as dimensões encontradas (parte b).
  • Com os valores obtidos (arredondados para apresentação): h_n \approx 3{,}17\\ \mathrm{m},\qquad b\approx 2{,}63\\ \mathrm{m},\qquad s=\sqrt{2}\approx1{,}4142.
  • Calcular área e perímetro: A = b h + h^2 = (2{,}63)(3{,}17) + (3{,}17)^2 \approx 18{,}36\\ \mathrm{m^2}.
P = b + 2 h s = 2{,}63 + 2\cdot 3{,}17\cdot 1{,}4142 \approx 11{,}58\\ \mathrm{m}.
  • Verificar a vazão usando Manning: Q_{calc}=\frac{1}{n}\,A^{5/3}P^{-2/3}S_0^{1/2}.
    • Calculando numericamente (com as potências indicadas) dá Q_{calc}\approx 20{,}0\\ \mathrm{m^3/s} (diferenças de arredondamento no passo-a-passo levam a variações muito pequenas; valor calculado com os números acima fica cerca de 19{,}95 a 20{,}13\\ \mathrm{m^3/s}, i.e. consistente com 20{,}0\\ \mathrm{m^3/s}).
  • Velocidade média: \bar{V}=\dfrac{Q}{A} \approx \dfrac{20{,}0}{18{,}36}\approx 1{,}09\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade de atrito (shear velocity) — conceito e cálculo:
    • A velocidade de atrito é definida por \displaystyle u_*=\sqrt{g\,R\,S_0}, onde R=A/P é o raio hidráulico e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Calcule R: R=\dfrac{A}{P}\approx \dfrac{18{,}36}{11{,}58}\approx 1{,}59\\ \mathrm{m}.
u_*=\sqrt{9{,}81\cdot 1{,}59\cdot 0{,}0004}\approx 0{,}079\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Determinar a lâmina para vazão \dfrac{Q}{2}=10{,}0\\ \mathrm{m^3/s} mantendo b e z fixos (parte c). Método e cálculo numérico por tentativa (iteração simples):
  • Agora o canal tem b=2{,}63\\ \mathrm{m} (fixo) e z=1. Para Q_{1} = 10{,}0\\ \mathrm{m^3/s} devemos encontrar h tal que Q_{1}=\frac{1}{n}\,A(h)^{5/3}P(h)^{-2/3}S_0^{1/2},onde A(h)=bh+h^2 e P(h)=b+2s h.
  • Procedimento prático: testar valores de h e ajustar por interpolação. Fiz essa iteração e encontrei: h_{(Q/2)}\approx 2{,}24\\ \mathrm{m}.
  • Verificação numérica (valores correspondentes): A\approx 10{,}93\\ \mathrm{m^2},\qquad P\approx 8{,}97\\ \mathrm{m}.
Q_{calc}\approx 10{,}0\\ \mathrm{m^3/s}\quad(\text{confere}).
  • Velocidade média e velocidade de atrito para essa condição: \bar{V}_{1}=\dfrac{Q_{1}}{A}\approx \dfrac{10{,}0}{10{,}93}\approx 0{,}92\\ \mathrm{m/s}.
R=\dfrac{A}{P}\approx \dfrac{10{,}93}{8{,}97}\approx 1{,}22\\ \mathrm{m}, \quad u_*=\sqrt{9{,}81\cdot 1{,}22\cdot 0{,}0004}\approx 0{,}069\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) b \approx 2{,}63\\ \mathrm{m},\; h_{n}\approx 3{,}17\\ \mathrm{m}.
(b) Vazão verificada Q_{calc}\approx 20{,}0\\ \mathrm{m^3/s}.\n Velocidade média \bar{V}\approx 1{,}09\\ \mathrm{m/s}.\n Velocidade de atrito u_*\approx 0{,}079\\ \mathrm{m/s}.
(c) Para Q/2=10{,}0\\ \mathrm{m^3/s}: h\approx 2{,}24\\ \mathrm{m}.

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