2-31 Using the definition of the coefficient of volume expansion and the expression
, show that the percent increase in the specific volume of an ideal gas during isobaric expansion is equal to the percent increase in absolute temperature.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que, durante uma expansão isobárica de um gás ideal, o aumento percentual do volume específico é igual ao aumento percentual da temperatura absoluta.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- Definição do coeficiente de expansão volumétrica:
onde
é o volume específico e o subíndice
indica derivada à pressão constante.
- Para gás ideal foi fornecido
.
O objetivo concreto é provar que o aumento percentual
é igual a
Passo 2
Definindo notação e o que significa “aumento percentual”: seja
o volume específico e a temperatura na condição inicial e
na condição final (mesma pressão). Definimos
e
. O aumento percentual de
é
e o aumento percentual de
é
Mostrar que esses dois quocientes são iguais é o que o enunciado pede.
Passo 3
Usamos a definição de
junto com o valor dado para gás ideal. Substituindo
em
obtemos
Multiplicando em ambos os lados por
dá a equação diferencial (à pressão constante)
Interpretação: a taxa de variação de
em relação a
(mantendo
fixo) é proporcional a
com fator
.
Passo 4
Resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis. Escrevendo
e separando:
Integramos ambos os lados entre os estados 1 e 2:
As integrais dão logaritmos:
Exponenciando ambos os lados resulta
Observação pedagógica: aqui não usamos aproximação — a igualdade é exata porque
foi usada exatamente. Alternativamente, isso também decorre diretamente da lei dos gases ideais: à pressão constante
, logo
e novamente
.
Passo 5
A partir de
subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicando por
obtemos a igualdade dos aumentos percentuais:
Portanto, o aumento percentual do volume específico durante expansão isobárica de um gás ideal é igual ao aumento percentual da temperatura absoluta.