2-31 Using the definition of the coefficient of volume expansion and the expression \beta_{\text {ideal gas }}=1 / T, show that the percent increase in the specific volume of an ideal gas during isobaric expansion is equal to the percent increase in absolute temperature.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que, durante uma expansão isobárica de um gás ideal, o aumento percentual do volume específico é igual ao aumento percentual da temperatura absoluta.
Informações dadas que vamos usar:
  • Definição do coeficiente de expansão volumétrica:
\beta=\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P
onde \;v\; é o volume específico e o subíndice P indica derivada à pressão constante.
  • Para gás ideal foi fornecido \beta_{\text{ideal gas}}=\dfrac{1}{T}.
    O objetivo concreto é provar que o aumento percentual
\frac{v_2-v_1}{v_1}\times100\%
é igual a
\frac{T_2-T_1}{T_1}\times100\%.

Passo 2

Definindo notação e o que significa “aumento percentual”: seja \;v_1,\;T_1\; o volume específico e a temperatura na condição inicial e \;v_2,\;T_2\; na condição final (mesma pressão). Definimos \Delta v=v_2-v_1 e \Delta T=T_2-T_1. O aumento percentual de v é
\frac{\Delta v}{v_1}=\frac{v_2-v_1}{v_1},
e o aumento percentual de T é
\frac{\Delta T}{T_1}=\frac{T_2-T_1}{T_1}.
Mostrar que esses dois quocientes são iguais é o que o enunciado pede.

Passo 3

Usamos a definição de \beta junto com o valor dado para gás ideal. Substituindo \beta_{\text{ideal gas}}=1/T em \beta=\dfrac{1}{v}\left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_P obtemos
\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P=\frac{1}{T}.
Multiplicando em ambos os lados por v dá a equação diferencial (à pressão constante)
\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P=\frac{v}{T}.
Interpretação: a taxa de variação de v em relação a T (mantendo P fixo) é proporcional a v com fator 1/T.

Passo 4

Resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis. Escrevendo \dfrac{dv}{dT}=\dfrac{v}{T} e separando:
\frac{dv}{v}=\frac{dT}{T}.
Integramos ambos os lados entre os estados 1 e 2:
\int_{v_1}^{v_2}\frac{dv}{v}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}.
As integrais dão logaritmos:
\ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right)=\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Exponenciando ambos os lados resulta
\frac{v_2}{v_1}=\frac{T_2}{T_1}.
Observação pedagógica: aqui não usamos aproximação — a igualdade é exata porque \beta=1/T foi usada exatamente. Alternativamente, isso também decorre diretamente da lei dos gases ideais: à pressão constante v=\dfrac{RT}{P}, logo v\propto T e novamente v_2/v_1=T_2/T_1.

Passo 5

A partir de \dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{T_2}{T_1} subtraímos 1 de ambos os lados:
\frac{v_2-v_1}{v_1}=\frac{T_2-T_1}{T_1}.
Multiplicando por 100\% obtemos a igualdade dos aumentos percentuais:
\frac{v_2-v_1}{v_1}\times100\%=\frac{T_2-T_1}{T_1}\times100\%.
Portanto, o aumento percentual do volume específico durante expansão isobárica de um gás ideal é igual ao aumento percentual da temperatura absoluta.

Resposta

\displaystyle \frac{v_2-v_1}{v_1}=\frac{T_2-T_1}{T_1}

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