2-32 Water at 1 atm pressure is compressed to 800 atm pressure isothermally. Determine the increase in the density of water. Take the isothermal compressibility of water to be
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o aumento da densidade da água quando a pressão passa de
para
em processo isotérmico. Dados fornecidos e o que se pede:
- Pressão inicial:
. - Pressão final:
. - Compressibilidade isotérmica (assumida constante):
. - O que se pede: aumento da densidade da água (pode ser expresso como razão
e/ou como porcentagem de aumento).
Passo 2
Conceito importante — definição da compressibilidade isotérmica:
mede quanto o volume muda quando a pressão muda, mantendo a temperatura constante. A definição é
Aqui:
-
é o volume do fluido, -
é a pressão, - o sinal negativo aparece porque, em geral, quando a pressão aumenta, o volume diminui.
Vou explicar:
é a inclinação da curva
versus
a temperatura constante. Dividindo por
e trocando o sinal obtemos um número positivo que diz “fração de volume que se perde por unidade de pressão”.
Passo 3
Relação entre volume e densidade: a densidade é
, onde
é a massa (constante no processo). Diferenciando logaritmicamente:
Isto significa que uma queda fracionária no volume corresponde a um aumento fracionário igual na densidade.
Passo 4
Combinar as duas relações: da definição de
temos
. Usando a relação do passo anterior obtemos
Essa é uma equação diferencial simples ligando a variação fracionária da densidade com a variação de pressão, válida enquanto
for tratado como aproximadamente constante (como o enunciado nos permite).
Passo 5
Integrar entre os estados inicial e final. Integramos de
até
e de
até
:
Como
é constante, isso dá
Passo 6
Calcular a diferença de pressão e o produto com
:
Então
Passo 7
Obter a razão das densidades exponenciando:
Isto significa que a densidade final é cerca de
vezes a densidade inicial.
Passo 8
Converter isso em aumento percentual da densidade:
Em palavras: comprimindo a água isotermicamente de
para
(usando
constante) a densidade aumenta cerca de
.