2-32 Water at 1 atm pressure is compressed to 800 atm pressure isothermally. Determine the increase in the density of water. Take the isothermal compressibility of water to be 4.80 \times 10^{-5} \mathrm{~atm}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o aumento da densidade da água quando a pressão passa de \,1\\ \mathrm{atm}\, para \,800\\ \mathrm{atm}\, em processo isotérmico. Dados fornecidos e o que se pede:
  • Pressão inicial: \,P_1 = 1\\ \mathrm{atm}\,.
  • Pressão final: \,P_2 = 800\\ \mathrm{atm}\,.
  • Compressibilidade isotérmica (assumida constante): \,\kappa_T = 4,80\times 10^{-5}\\ \mathrm{atm}^{-1}\,.
  • O que se pede: aumento da densidade da água (pode ser expresso como razão \rho_2/\rho_1 e/ou como porcentagem de aumento).

Passo 2

Conceito importante — definição da compressibilidade isotérmica: \kappa_T mede quanto o volume muda quando a pressão muda, mantendo a temperatura constante. A definição é
\kappa_T \;=\; -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T.
Aqui:
  • V é o volume do fluido,
  • P é a pressão,
  • o sinal negativo aparece porque, em geral, quando a pressão aumenta, o volume diminui.
Vou explicar: \left(\partial V/\partial P\right)_T é a inclinação da curva V versus P a temperatura constante. Dividindo por V e trocando o sinal obtemos um número positivo que diz “fração de volume que se perde por unidade de pressão”.

Passo 3

Relação entre volume e densidade: a densidade é \rho = m/V, onde m é a massa (constante no processo). Diferenciando logaritmicamente:
\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}.
Isto significa que uma queda fracionária no volume corresponde a um aumento fracionário igual na densidade.

Passo 4

Combinar as duas relações: da definição de \kappa_T temos -\frac{dV}{V} = \kappa_T\,dP. Usando a relação do passo anterior obtemos
\frac{d\rho}{\rho} = \kappa_T\,dP.
Essa é uma equação diferencial simples ligando a variação fracionária da densidade com a variação de pressão, válida enquanto \kappa_T for tratado como aproximadamente constante (como o enunciado nos permite).

Passo 5

Integrar entre os estados inicial e final. Integramos de P_1 até P_2 e de \rho_1 até \rho_2:
\int_{\rho_1}^{\rho_2}\frac{d\rho}{\rho} \;=\; \int_{P_1}^{P_2} \kappa_T\,dP.
Como \kappa_T é constante, isso dá
\ln\!\left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right) \;=\; \kappa_T\,(P_2-P_1).

Passo 6

Calcular a diferença de pressão e o produto com \kappa_T:
\Delta P = P_2-P_1 = 800 - 1 = 799\\ \mathrm{atm}.
Então
\kappa_T\,\Delta P = \left(4{,}80\times10^{-5}\\ \mathrm{atm}^{-1}\right)\times 799 \;=\; 0{,}038352.

Passo 7

Obter a razão das densidades exponenciando:
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \exp\big(\kappa_T\,(P_2-P_1)\big) = \exp(0{,}038352) \approx 1{,}0391.
Isto significa que a densidade final é cerca de 1{,}0391 vezes a densidade inicial.

Passo 8

Converter isso em aumento percentual da densidade:
\text{Aumento percentual} = \left(\frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_1}\right)\times 100\% = (1{,}0391-1)\times100\% \approx 3{,}91\%.
Em palavras: comprimindo a água isotermicamente de 1\\ \mathrm{atm} para 800\\ \mathrm{atm} (usando \kappa_T constante) a densidade aumenta cerca de 3{,}91\%.

Resposta

\displaystyle \frac{\rho_2}{\rho_1}\approx 1{,}0391
\displaystyle \text{Aumento da densidade} \approx 3{,}91\%

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