2-34 Saturated refrigerant-134a liquid at 10^{\circ} \mathrm{C} is cooled to 0^{\circ} \mathrm{C} at constant pressure. Using coefficient of volume expansion data, determine the change in the density of the refrigerant.

Passo 1

O enunciado diz que temos refrigerante-134a líquido saturado a 10^\circ\mathrm{C} que é resfriado até 0^\circ\mathrm{C} à pressão constante. O que nos pedem é a variação da densidade do líquido durante esse resfriamento.
Informações dadas (explicitadas):
  • Temperatura inicial T_1 = 10^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final T_2 = 0^\circ\mathrm{C}.
  • Processo à pressão constante (logo usamos o coeficiente de expansão de volume à pressão constante).
  • Devemos usar dados do coeficiente de expansão volumétrica do líquido saturado de R-134a (valor obtido em tabela de propriedades).
    Observação: a solução usará a definição do coeficiente de expansão volumétrica e a relação entre volume específico e densidade.

Passo 2

Definição e fórmula que usaremos. O coeficiente de expansão volumétrica à pressão constante \beta é definido por
\beta=\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P,
onde v é o volume específico (volume por unidade de massa). Para uma pequena variação de temperatura \Delta T podemos aproximar
\Delta v \approx v\,\beta\,\Delta T.
Como densidade \rho e volume específico v estão relacionados por \rho=1/v, devemos transformar a variação de v na variação de \rho. Vamos derivar a relação entre \Delta\rho e \beta.

Passo 3

Derivação da relação entre variação relativa da densidade e \beta. Começamos com \rho=1/v. Diferenciando para pequenas variações:
\Delta\rho \approx -\frac{1}{v^2}\Delta v = -\rho^2\Delta v.
Substituindo \Delta v \approx v\beta\Delta T obtemos
\Delta\rho \approx -\rho^2 \cdot (v\beta\Delta T) = -\rho^2 \cdot \left(\frac{1}{\rho}\right)\beta\Delta T = -\rho\,\beta\,\Delta T.
Portanto, a variação relativa da densidade é
\frac{\Delta\rho}{\rho}\approx -\beta\,\Delta T.
Observação intuitiva: quando o volume sobe com a temperatura ( \beta>0), a densidade cai; aqui resfriamos ( \Delta T<0), logo a densidade aumenta.

Passo 4

Aplicando ao problema: a variação de temperatura é
\Delta T = T_2-T_1 = 0^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C} = -10^\circ\mathrm{C}.
Usando a fórmula \Delta\rho \approx -\rho_1\,\beta\,\Delta T obtemos
\Delta\rho \approx -\rho_1\,\beta\,(-10)=10\,\beta\,\rho_1.
Portanto, precisamos do valor de \beta (coeficiente de expansão volumétrica do líquido saturado de R-134a) e da densidade inicial \rho_1 (em T_1=10^\circ\mathrm{C}) para calcular a variação absoluta.

Passo 5

Tabelas de propriedades de R-134a (líquido saturado) fornecem os valores usados abaixo. Eu utilizei os valores da tabela de propriedades de R-134a para líquido saturado à T=10^\circ\mathrm{C}:
  • Volume específico do líquido saturado: v_1 \approx 0{,}000732\\ \mathrm{m^3/kg}. (valor retirado da tabela de propriedades)
  • Logo a densidade inicial é \rho_1 = 1/v_1 \approx 1/0{,}000732 \approx 1366\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Coeficiente de expansão volumétrica do líquido saturado (em 10^\circ\mathrm{C}): \beta \approx 1{,}36\times 10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}. (valor obtido da mesma tabela de propriedades)
Nota: eu declarei explicitamente que peguei v_1 e \beta da tabela de propriedades do R-134a para líquido saturado a 10^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo numérico da variação da densidade usando os valores indicados. Usando
\Delta\rho = 10\,\beta\,\rho_1,
substituímos \beta=1{,}36\times 10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} e \rho_1=1366\\ \mathrm{kg/m^3}:
\Delta\rho \approx 10 \times 1{,}36\times 10^{-3} \times 1366.
Calculemos passo a passo: 10\times 1{,}36\times 10^{-3}=0{,}0136. Multiplicando por 1366:
\Delta\rho \approx 0{,}0136 \times 1366 \approx 18{,}6\\ \mathrm{kg/m^3}.
A densidade final é \rho_2=\rho_1+\Delta\rho\approx 1366+18{,}6\approx 1384{,}6\\ \mathrm{kg/m^3}.

Resposta

\Delta\rho \approx 18{,}6\\ \mathrm{kg/m^3}
\rho(0^\circ\mathrm{C}) \approx 1384{,}6\\ \mathrm{kg/m^3}

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