Ar a 311 K está escoando por meio de um leito fixo de esferas com diâmetro de 12,7 \mathrm{~mm}. A fração de vazios do leito é de 0,38 , enquanto o seu diâmetro é de 0,61 \mathrm{~m} e a altura de 2,44 \mathrm{~m}. O ar entra no leito a 1,1 \mathrm{~atm} e a uma vazão mássica de 0,358 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Calcule a queda de pressão no leito e a potência do soprador.
Dados: Massa molar do ar =29 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ; \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} /(\mathrm{kmol} \mathrm{K})

Passo 1

O problema pede dois resultados claros:
  1. A queda de pressão no leito fixo de esferas (ou seja, \Delta P ao longo da altura do leito).
  2. A potência requerida pelo soprador (assumindo potência ideal sem perdas).
Dados fornecidos (vou listar tudo e já converter unidades onde necessário):
  • Temperatura do ar: \;T=311\\ \mathrm{K}.
  • Diâmetro das esferas (partículas): \;d_p=12{,}7\\ \mathrm{mm}.
  • Fração de vazios do leito (porosidade): \;\epsilon=0{,}38.
  • Diâmetro do leito (coluna): \;D_\text{leito}=0{,}61\\ \mathrm{m}.
  • Altura do leito: \;L=2{,}44\\ \mathrm{m}.
  • Pressão de entrada: \;P=1{,}1\\ \mathrm{atm}.
  • Vazão mássica de ar: \;\dot{m}=0{,}358\\ \mathrm{kg/s}.
  • Massa molar do ar: \;M=29\\ \mathrm{g/mol}.
  • Constante universal dos gases: \;R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\;K)} (usarei esta forma).
    Observações de conversão (já preparadas para usar depois):
  • \;d_p em metros: \;d_p=0{,}0127\\ \mathrm{m}.
  • \;M em kg/mol: \;M=0{,}029\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Pressão em Pa: \;P=1{,}1\times101325\\ \mathrm{Pa}.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular a densidade do ar pela equação dos gases ideais e a viscosidade dinâmica aproximada (pois a equação de Ergun exige \rho e \mu).
  1. Densidade pelo gás ideal. Fórmula:
\rho=\frac{P\,M}{R\,T},
onde \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3}), P é a pressão ( \mathrm{Pa}), M é a massa molar ( \mathrm{kg/mol}), R é a constante dos gases ( \mathrm{J/(mol\;K)}) e T é a temperatura ( \mathrm{K}).
Converto P:
P=1{,}1\times101325=111457{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo:
\rho=\frac{111457{,}5\cdot0{,}029}{8{,}314\cdot311}.
Faço as contas passo a passo:
\text{numerador}=111457{,}5\times0{,}029=3232{,}2675,
\text{denominador}=8{,}314\times311=2585{,}654.
Logo
\rho=\frac{3232{,}2675}{2585{,}654}\approx1{,}250\\ \mathrm{kg/m^3}.
  1. Viscosidade dinâmica do ar ( \mu). Vou usar a fórmula de Sutherland (uma aproximação padrão para ar):
\mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S},
onde valores típicos para ar são \mu_0=1{,}716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0=273\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}.
Calculando:
\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}=\left(\frac{311}{273}\right)^{3/2}\approx1{,}2165,
\frac{T_0+S}{T+S}=\frac{273+110{,}4}{311+110{,}4}=\frac{383{,}4}{421{,}4}\approx0{,}9096.
Portanto
\mu=1{,}716\times10^{-5}\times1{,}2165\times0{,}9096\approx1{,}90\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Resumo desta etapa:
\rho\approx1{,}250\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \mu\approx1{,}90\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 3

Calcular vazão volumétrica e velocidade superficial do gás no leito.
  1. Vazão volumétrica \;Q (m^3/s) a partir da vazão mássica:
Q=\frac{\dot{m}}{\rho}=\frac{0{,}358}{1{,}250}\approx0{,}2864\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Área da seção transversal do leito (círculo com diâmetro D_\text{leito}):
A=\frac{\pi D_\text{leito}^2}{4}=\frac{\pi(0{,}61)^2}{4}.
Calculo:
0{,}61^2=0{,}3721,\qquad A=0{,}3721\times\frac{\pi}{4}\approx0{,}2921\\ \mathrm{m^2}.
  1. Velocidade superficial (vazão volumétrica dividida pela área):
U_0=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}2864}{0{,}2921}\approx0{,}98\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida (didática): a velocidade superficial U_0 é a velocidade média que o fluido teria se a coluna fosse vazia; na presença de partículas a velocidade no espaço livre é maior que U_0, mas a equação de Ergun usa U_0.

Passo 4

Apresentar a equação de Ergun e explicar seus termos.
A equação de Ergun dá a perda de carga por unidade de comprimento em um leito poroso de partículas:
\frac{\Delta P}{L}=\frac{150(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3}\,\frac{\mu U_0}{d_p^2} \;+\; \frac{1{,}75(1-\epsilon)}{\epsilon^3}\,\frac{\rho U_0^2}{d_p}.
Interpretação:
  • Primeiro termo (proporcional a \mu U_0) representa perdas viscosas (regime laminar/viscous-dominated).
  • Segundo termo (proporcional a \rho U_0^2) representa perdas inerciais (regime de arrasto/inércia).
  • \epsilon é a porosidade, d_p é o diâmetro das partículas, \mu e \rho são propriedades do fluido, U_0 é a velocidade superficial.
Vou calcular cada termo numericamente.

Passo 5

Calcular fatores geométricos e coeficientes numéricos da Ergun.
Dados usados:
\epsilon=0{,}38,\\ d_p=0{,}0127\\ \mathrm{m},\\ U_0=0{,}98\\ \mathrm{m/s}.
  1. \epsilon^3=(0{,}38)^3=0{,}054872.
  2. 1-\epsilon=0{,}62,\quad(1-\epsilon)^2=0{,}3844.
  3. Coeficiente do primeiro termo:
\frac{150(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3}=\frac{150\times0{,}3844}{0{,}054872}\approx1050{,}9.
  1. Coeficiente do segundo termo:
\frac{1{,}75(1-\epsilon)}{\epsilon^3}=\frac{1{,}75\times0{,}62}{0{,}054872}\approx19{,}77.

Passo 6

Calcular os termos da Ergun e a perda de carga por metro.
  1. Primeiro termo (viscoso):
\frac{150(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3}\frac{\mu U_0}{d_p^2} =1050{,}9\cdot\frac{1{,}90\times10^{-5}\times0{,}98}{(0{,}0127)^2}.
Calculo detalhado:
d_p^2=(0{,}0127)^2=1{,}6129\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
\mu U_0=1{,}90\times10^{-5}\times0{,}98=1{,}862\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot m/s}.
\frac{\mu U_0}{d_p^2}=\frac{1{,}862\times10^{-5}}{1{,}6129\times10^{-4}}\approx0{,}1155\\ \mathrm{Pa/m}.
Multiplicando pelo coeficiente:
\text{termo viscoso}\approx1050{,}9\times0{,}1155\approx121{,}3\\ \mathrm{Pa/m}.
  1. Segundo termo (inercial):
\frac{1{,}75(1-\epsilon)}{\epsilon^3}\frac{\rho U_0^2}{d_p} =19{,}77\cdot\frac{1{,}250\times(0{,}98)^2}{0{,}0127}.
Calculo detalhado:
U_0^2=0{,}98^2=0{,}9604,
\rho U_0^2=1{,}250\times0{,}9604=1{,}2005\\ \mathrm{kg/(m\;s^2)}\\ (\text{ou Pa}),
\frac{\rho U_0^2}{d_p}=\frac{1{,}2005}{0{,}0127}\approx94{,}49\\ \mathrm{Pa/m}.
Multiplicando pelo coeficiente:
\text{termo inercial}\approx19{,}77\times94{,}49\approx1867{,}4\\ \mathrm{Pa/m}.
  1. Somando:
\frac{\Delta P}{L}=121{,}3+1867{,}4\approx1988{,}7\\ \mathrm{Pa/m}.

Passo 7

Calcular a queda de pressão total no leito e a potência do soprador.
  1. Queda de pressão total ao longo da altura L=2{,}44\\ \mathrm{m}:
\Delta P=\left(\frac{\Delta P}{L}\right)\cdot L=1988{,}7\times2{,}44\approx4850{,}7\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando sensatamente: \Delta P\approx4{,}85\times10^3\\ \mathrm{Pa}=4{,}85\\ \mathrm{kPa}.
  1. Potência ideal do soprador (energia por unidade de tempo para vencer a perda de carga):
\mathcal{P}=Q\cdot\Delta P,
onde Q é a vazão volumétrica calculada no Passo 3: Q\approx0{,}2864\\ \mathrm{m^3/s}.
\mathcal{P}=0{,}2864\times4850{,}7\approx1389{,}7\\ \mathrm{W}.
Arredondando: \mathcal{P}\approx1{,}39\\ \mathrm{kW}.
Observação didática: essa potência é a potência hidráulica necessária (ideal). Um soprador real terá eficiência menor que 100\%, então a potência elétrica consumida seria maior dividindo por essa eficiência.

Passo 8

Resumo numérico e interpretação rápida (enquanto estudo — mantenha confiança: os valores fazem sentido físico).
  • A perda de carga total \sim4{,}85\\ \mathrm{kPa} é razoável para uma velocidade superficial de \sim0{,}98\\ \mathrm{m/s} em um leito com partículas de \sim1{,}27\\ \mathrm{cm}.
  • O termo inercial domina a perda de carga (como vimos, \sim1{,}87\times10^3\\ \mathrm{Pa/m} vs \sim121\\ \mathrm{Pa/m} do termo viscoso), o que acontece quando as velocidades e/ou partículas são tais que o escoamento é mais de arrasto do que puramente viscoso.

Resposta

\Delta P\approx4{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}
\mathcal{P}\approx1{,}39\\ \mathrm{kW}

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