Considere um hidrociclone Rietema utilizado para pré-filtração de água para irrigação. O hidrociclone de geometria “Rietema” utilizado foi fabricado em aço galvanizado com os seguintes parâmetros:
  • Diâmetro do cilindro (Dc): 19,2 cm
  • Diâmetro da alimentação (Da): 5,4 \mathrm{~cm}
  • Diâmetro de overflow (Do): 6,6 \mathrm{~cm}
  • Diâmetro de underflow (Du): 4,0 \mathrm{~cm}
  • Comprimento da parte cilíndrica (h): 22 cm
  • Comprimento do tronco de cone (H): 68,2 \mathrm{~cm}
  • Comprimento total (L): 90,2 \mathrm{~cm}
  • Comprimento de vortex finder ( \ell ): 8 cm
  • Ângulo do tronco de cone ( \theta ): 15,0^{\circ}
Para realização dos experimentos em escala de laboratório foram utilizados os seguintes equipamentos: reservatório com capacidade de 5.000 litros para a suspensão de água-areia e água-solo; conjunto motobomba, potência 11 kW ; chave de partida contactora com relê de sobrecarga; manômetro tipo Bourdon (previamente calibrado); registro de gaveta de diâmetro nominal 2"; tubos de PVC de diâmetro nominal 2"; manômetro diferencial com coluna de mercúrio em “U”; medidores de vazão tipo placa de orifício que foram construídos e previamente calibrados; hidrociclone de geometria “Rietema” com diâmetro do cilindro (Dc) de 19,20 cm, agitador submersível composto por um motorredutor elétrico, com potência de 1,1 \mathrm{~kW} e um dispositivo tipo hélice interligados, que permaneceu dentro do reservatório, circulando a suspensão, para mantê-la homogeneizada durante todo o tempo de avaliação.
Os ensaios foram conduzidos para vazões variando de 10 a 27 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~h}^{-1}, com razão de líquido ajustada para aproximadamente 8 \%, por meio do comando de um registro de gaveta instalado no duto do underflow.
\mathrm{RL}=\frac{\mathrm{Qu}(1-\mathrm{Cvu})}{\mathrm{Qa}(1-\mathrm{Cva})}
(RL- razão de líquido, adimensional;
Qu - vazão volumétrica da suspensão no underflow, L \mathrm{~s}^{-1};
Qa - vazão volumétrica da suspensão na alimentação, L s
{ }^{-1};
Cvu - concentração volumétrica de sólidos no underflow, L L-1 , e
Cva - concentração volumétrica de sólidos na alimentação, \mathrm{L} \mathrm{L}^{-1} )
Durante o tempo de coleta dos dados de vazão e queda de pressão, tomavam-se amostras da suspensão nos três pontos de coleta (alimentação, overflow e underflow). Este procedimento foi repetido mais duas vezes, obtendo-se a média de três repetições para
cada vazão.
Em seguida, pesava-se a mesma, obtendo a massa da suspensão na referida corrente. A concentração mássica nas correntes foi obtida pelo método gravimétrico, utilizando-se de uma estufa para a retirada de toda água da suspensão. Dessa forma, conhecendo-se a massa de sólidos e a massa da suspensão nas amostras, foi possível determinar a concentração mássica de sólidos nas correntes de alimentação e underflow. A massa específica das suspensões, nas devidas correntes, foi determinada por meio de um balão volumétrico (500 \mathrm{~mL}), a partir do conhecimento da massa da suspensão e do volume do balão. A vazão mássica consistiu no produto da vazão volumétrica pela massa específica da suspensão caracterizada nas correntes de alimentação e underflow.
O experimento ocorreu em duas etapas: na primeira, utilizou-se de solo como material particulado e, na segunda, areia. Ao final de cada etapa, todo o sistema foi limpo, e o reservatório recomposto com água e material em avaliação (solo ou areia). A quantidade de material particulado (areia e solo) colocado no reservatório foi de 30 kg , caracterizando uma concentração de 6.000 mg L-1. O solo, era de classe textural franco-argilo-arenosa (60% de areia, 14% de silte e 26% de argila) e a areia (98% de areia e 2% de argila) proveniente de assoreamento de rio. As massas específicas do solo ( 2.650 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}-3 ) e da areia ( 2.700 kg m 3 ) foram determinadas.
As eficiências foram calculadas a posteriori.
\mathrm{ET}^{\prime}=\frac{\mathrm{ET}-\mathrm{RL}}{1-\mathrm{RL}}
(ET’- eficiência total reduzida, adimensional;
ET - eficiência total, e
RL- razão de líquido.)
  1. Obtenha as eficiências para os dados apresentados na tabela abaixo.
Table 1: Tabela 01: Valores médios obtidos para o hidrociclone operando com suspensões de areia e solo.
\captionsetup{labelformat=empty}
Qa
\left(\mathrm{m}^{3} \mathrm{~h}^{-1}\right)
Qu
\left(\mathrm{m}^{3} \mathrm{~h}^{-1}\right)
RL
(\%)
Wsa
\left(\mathrm{kg} \mathrm{h}^{-1}\right)
Wsu
\left(\mathrm{kg} \mathrm{h}^{-1}\right)
Suspensão com areia
26,97 2,28 8,45 10,31 9,52
22,78 1,90 8,34 5,43 4,05
20,54 1,70 8,29 4,51 2,56
18,21 1,46 8,01 3,72 1,68
15,88 1,28 8,04 3,35 1,23
12,43 0,98 7,89 2,43 0,73
\begin{tabular}{ccccr}
\hline & \multicolumn{4}{c}{ Suspensão com solo } \
\hline 26,21 & 2,27 & 8,66 & 24,64 & 13,38 \
23,08 & 2,00 & 8,66 & 15,40 & 6,95 \
19,56 & 1,67 & 8,52 & 12,75 & 4,23 \
16,67 & 1,40 & 8,40 & 10,26 & 2,44 \
13,01 & 1,12 & 8,63 & 7,12 & 1,60 \
10,07 & 0,88 & 8,74 & 4,34 & 0,85 \
\hline
\end{tabular>

Passo 1

O que o problema pede: calcular as eficiências reduzidas \mathrm{ET}' para cada linha da tabela, usando a fórmula
\mathrm{ET}'=\frac{\mathrm{ET}-\mathrm{RL}}{1-\mathrm{RL}}.
Dados fornecidos (retirei diretamente a tabela do enunciado): para cada ensaio temos Q_a (vazão de alimentação), Q_u (vazão do underflow), \mathrm{RL} (razão de líquido, em %), W_{sa} (massa de sólidos na alimentação, em \mathrm{kg\;h^{-1}}) e W_{su} (massa de sólidos no underflow, em \mathrm{kg\;h^{-1}}). As linhas são agrupadas em “Suspensão com areia” e “Suspensão com solo”. Exemplos de dados (primeiras linhas de cada grupo, retiradas da tabela do enunciado):
\begin{array}{l} \text{Areia, primeira linha: }Q_a=26{,}97,\;W_{sa}=10{,}31,\;W_{su}=9{,}52,\;\mathrm{RL}=8{,}45\%\\[4pt] \text{Solo, primeira linha: }Q_a=26{,}21,\;W_{sa}=24{,}64,\;W_{su}=13{,}38,\;\mathrm{RL}=8{,}66\% \end{array}
(A tabela completa foi usada; acima está só um exemplo para ilustrar os tipos de dados.)]

Passo 2

Definição e escolha da fórmula para \mathrm{ET} (eficiência total): aqui queremos a fração dos sólidos da alimentação que são encaminhados para o underflow (ou seja, a parcela de sólidos efetivamente removida do fluxo de alimentação para o underflow). A forma natural e massicamente consistente para essa eficiência é
\mathrm{ET}=\frac{W_{su}}{W_{sa}},
onde W_{su} é a massa de sólidos no underflow (unidade \mathrm{kg\;h^{-1}}) e W_{sa} é a massa de sólidos na alimentação (unidade \mathrm{kg\;h^{-1}}). Explicação didática: se, por exemplo, a alimentação traz 10 kg·h^{-1} de sólidos e o underflow contém 9 kg·h^{-1}, então a eficiência em massa é 9/10=0{,}9 (ou 90\%): 90% dos sólidos da alimentação foram direcionados ao underflow. Essa definição é a que faz sentido físico aqui e permite depois aplicar a redução com a razão de líquido \mathrm{RL}.
Observação sobre percentuais: a \mathrm{RL} na tabela está em \%. Para usar na fórmula devemos converter para decimal: por exemplo \mathrm{RL}=8{,}45\% vira 0{,}0845.

Passo 3

Cálculo de \mathrm{ET} para cada linha (mostro o procedimento e o resultado em porcentagem):
Suspensão com areia:
\begin{aligned} \text{1)}\;&\mathrm{ET}=\frac{9{,}52}{10{,}31}=0{,}923623\approx 92{,}36\%\\[2pt] \text{2)}\;&\mathrm{ET}=\frac{4{,}05}{5{,}43}=0{,}745865\approx 74{,}59\%\\[2pt] \text{3)}\;&\mathrm{ET}=\frac{2{,}56}{4{,}51}=0{,}567628\approx 56{,}76\%\\[2pt] \text{4)}\;&\mathrm{ET}=\frac{1{,}68}{3{,}72}=0{,}451613\approx 45{,}16\%\\[2pt] \text{5)}\;&\mathrm{ET}=\frac{1{,}23}{3{,}35}=0{,}367164\approx 36{,}72\%\\[2pt] \text{6)}\;&\mathrm{ET}=\frac{0{,}73}{2{,}43}=0{,}300412\approx 30{,}04\% \end{aligned}
Suspensão com solo:
\begin{aligned} \text{1)}\;&\mathrm{ET}=\frac{13{,}38}{24{,}64}=0{,}542829\approx 54{,}28\%\\[2pt] \text{2)}\;&\mathrm{ET}=\frac{6{,}95}{15{,}40}=0{,}451299\approx 45{,}13\%\\[2pt] \text{3)}\;&\mathrm{ET}=\frac{4{,}23}{12{,}75}=0{,}331765\approx 33{,}18\%\\[2pt] \text{4)}\;&\mathrm{ET}=\frac{2{,}44}{10{,}26}=0{,}237634\approx 23{,}76\%\\[2pt] \text{5)}\;&\mathrm{ET}=\frac{1{,}60}{7{,}12}=0{,}224719\approx 22{,}47\%\\[2pt] \text{6)}\;&\mathrm{ET}=\frac{0{,}85}{4{,}34}=0{,}195623\approx 19{,}56\% \end{aligned}]

Passo 4

Cálculo de \mathrm{ET}' (eficiência total reduzida) usando
\mathrm{ET}'=\frac{\mathrm{ET}-\mathrm{RL}}{1-\mathrm{RL}},
onde \mathrm{RL} foi convertido de \% para decimal ( \mathrm{RL}=8{,}45\%\Rightarrow 0{,}0845, etc.). Faço os cálculos para cada linha e dou o resultado em percentual (arredondado a duas casas decimais).
Suspensão com areia:
\begin{aligned} \text{1)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0845,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}923623-0{,}0845}{1-0{,}0845}=\frac{0{,}839123}{0{,}9155}=0{,}916926\approx 91{,}69\%\\[4pt] \text{2)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0834,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}745865-0{,}0834}{1-0{,}0834}=\frac{0{,}662465}{0{,}9166}=0{,}722809\approx 72{,}28\%\\[4pt] \text{3)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0829,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}567628-0{,}0829}{1-0{,}0829}=\frac{0{,}484728}{0{,}9171}=0{,}528635\approx 52{,}86\%\\[4pt] \text{4)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0801,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}451613-0{,}0801}{1-0{,}0801}=\frac{0{,}371513}{0{,}9199}=0{,}403838\approx 40{,}38\%\\[4pt] \text{5)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0804,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}367164-0{,}0804}{1-0{,}0804}=\frac{0{,}286764}{0{,}9196}=0{,}311880\approx 31{,}19\%\\[4pt] \text{6)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0789,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}300412-0{,}0789}{1-0{,}0789}=\frac{0{,}221512}{0{,}9211}=0{,}240446\approx 24{,}04\% \end{aligned}]

Passo 5

Cálculo de \mathrm{ET}' para a suspensão com solo (mesma fórmula, mostrando resultados):
\begin{aligned} \text{1)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0866,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}542829-0{,}0866}{1-0{,}0866}=\frac{0{,}456229}{0{,}9134}=0{,}499716\approx 49{,}97\%\\[4pt] \text{2)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0866,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}451299-0{,}0866}{1-0{,}0866}=\frac{0{,}364699}{0{,}9134}=0{,}399373\approx 39{,}94\%\\[4pt] \text{3)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0852,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}331765-0{,}0852}{1-0{,}0852}=\frac{0{,}246565}{0{,}9148}=0{,}269540\approx 26{,}95\%\\[4pt] \text{4)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0840,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}237634-0{,}0840}{1-0{,}0840}=\frac{0{,}153634}{0{,}9160}=0{,}167693\approx 16{,}77\%\\[4pt] \text{5)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0863,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}224719-0{,}0863}{1-0{,}0863}=\frac{0{,}138419}{0{,}9137}=0{,}151553\approx 15{,}16\%\\[4pt] \text{6)}\;&\mathrm{RL}=0{,}0874,\;\mathrm{ET}'=\frac{0{,}195623-0{,}0874}{1-0{,}0874}=\frac{0{,}108223}{0{,}9126}=0{,}118658\approx 11{,}87\% \end{aligned}]

Resposta

Suspensão com areia, Q_a=26{,}97: \mathrm{ET}'=91{,}69\%
Suspensão com areia, Q_a=22{,}78: \mathrm{ET}'=72{,}28\%
Suspensão com areia, Q_a=20{,}54: \mathrm{ET}'=52{,}86\%
Suspensão com areia, Q_a=18{,}21: \mathrm{ET}'=40{,}38\%
Suspensão com areia, Q_a=15{,}88: \mathrm{ET}'=31{,}19\%
Suspensão com areia, Q_a=12{,}43: \mathrm{ET}'=24{,}04\%
Suspensão com solo, Q_a=26{,}21: \mathrm{ET}'=49{,}97\%
Suspensão com solo, Q_a=23{,}08: \mathrm{ET}'=39{,}94\%
Suspensão com solo, Q_a=19{,}56: \mathrm{ET}'=26{,}95\%
Suspensão com solo, Q_a=16{,}67: \mathrm{ET}'=16{,}77\%
Suspensão com solo, Q_a=13{,}01: \mathrm{ET}'=15{,}16\%
Suspensão com solo, Q_a=10{,}07: \mathrm{ET}'=11{,}87\%

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