Partículas sólidas com tamanho de 0,12 \mathrm{~mm}, densidade de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e esfericidade de 0,88 são fluidizadas com ar a 2 atm e a 25^{\circ} \mathrm{C}. Considere a porosidade na condição mínima de fluidização de 0,42 .
a) Calcule a altura mínima do leito fluidizado que possui uma área de seção transversal para o leito vazio de 0,30 \mathrm{~m}^{2} e que é preenchido com 300kg de sólido. (1,25 pontos)
b) Calcule a queda de pressão na condição mínima de fluidização. (1,25 pontos)
c) Calcule a velocidade mínima de fluidização usando os valores de porosidade mínima de fluidização de esfericidade conhecidos. (1,25 pontos)
d) Calcule a velocidade mínima de fluidização supondo que os valores de porosidade mínima de fluidização de esfericidade não sejam conhecidos. (1,25 pontos)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e fornece vários dados. Vou listar claramente o que é pedido e todos os dados relevantes.
O que se pede:
  • a) Altura mínima do leito fluidizado (altura na condição de fluidização mínima).
  • b) Queda de pressão através do leito na condição de fluidização mínima.
  • c) Velocidade mínima de fluidização U_{mf} usando a porosidade mínima e a esfericidade (ou seja, incluindo efeito da esfericidade no cálculo pelo Ergun).
  • d) Velocidade mínima de fluidização U_{mf} supondo que não conhecemos ajustes por esfericidade (usar uma correlação clássica que não precise da esfericidade).
Dados fornecidos (vou colocá-los em símbolos para usar depois):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do sólido: } d_p = 0{,}12\\ \text{mm} = 0{,}00012\\ \mathrm{m},\\\ &\text{densidade do sólido: } \rho_s = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{esfericidade: } \psi = 0{,}88,\\\ &\text{ar: } P = 2\\ \text{atm} = 202650\\ \mathrm{Pa},\quad T = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{porosidade na condição mínima: } \varepsilon_{mf} = 0{,}42,\\\ &\text{área de seção transversal do leito (leito vazio): } A = 0{,}30\\ \mathrm{m^2},\\\ &\text{massa de sólidos no leito: } m_s = 300\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{aceleração da gravidade: } g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}âóóçãíáçãóçã
Constantes de fluido que usarei (explico como calculei abaixo):
\text{densidade do ar } \rho_f \text{ (ideal)}\quad\text{e}\quad \text{viscosidade dinâmica } \mu \text{ (a }25^\circ\text{C).}â

Passo 2

Cálculo da altura mínima do leito H_{mf}.
Raciocínio físico e fórmula:
  • A porosidade \varepsilon_{mf} é a fração volumétrica do leito ocupada por fluido. Se o volume total do leito for V_{bed}, então o volume sólido é V_s=(1-\varepsilon_{mf})V_{bed}.
  • O volume sólido também é V_s = m_s/\rho_s.
  • Como V_{bed} = A H_{mf}, isolamos H_{mf}:
H_{mf} = \frac{V_{bed}}{A} = \frac{V_s}{A(1-\varepsilon_{mf})} = \frac{m_s}{\rho_s\,A\,(1-\varepsilon_{mf})}.
Agora substituindo números:
\begin{aligned} V_s &= \frac{m_s}{\rho_s} = \frac{300}{1000} = 0{,}300\\ \mathrm{m^3},\\\\ 1-\varepsilon_{mf} &= 1-0{,}42 = 0{,}58,\\\ H_{mf} &= \frac{0{,}300}{0{,}30\times 0{,}58} = \frac{0{,}300}{0{,}174} \approx 1{,}724\\ \mathrm{m}. \end{aligned}

Passo 3

Cálculo da queda de pressão \Delta P na condição mínima de fluidização.
Raciocínio e fórmula:
  • Na condição de fluidização mínima a queda de pressão através do leito equilibra o peso aparente dos sólidos por unidade de área. A expressão conveniente é (peso aparente por volume vezes altura):
\Delta P = \Big[(1-\varepsilon_{mf})\rho_s - \rho_f\Big]\,g\,H_{mf}.
Aqui (1-\varepsilon_{mf})\rho_s é a densidade média de sólidos por volume de leito e \rho_f é a densidade do fluido (o termo -\rho_f representa a força de empuxo do fluido sobre o volume do leito).
  • Precisamos de \rho_f. Para o ar, assumindo gás ideal:
\rho_f=\frac{P M}{R T},
onde M é massa molar do ar (tomarei M=0{,}02897\\ \mathrm{kg/mol}), R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T=298{,}15\\ \mathrm{K} e P=202650\\ \mathrm{Pa}.
Cálculo:
\rho_f=\frac{202650\times 0{,}02897}{8{,}314\times 298{,}15}\approx 2{,}37\\ \mathrm{kg/m^3}.
Agora avalio \Delta P:
\begin{aligned} (1-\varepsilon_{mf})\rho_s - \rho_f &= 0{,}58\times 1000 - 2{,}37 \approx 577{,}63\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ \Delta P &= 577{,}63\times 9{,}81\times 1{,}724 \approx 9{,}78\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 9{,}78\\ \mathrm{kPa}. \end{aligned}

Passo 4

Como calcular U_{mf} incluindo a esfericidade (método escolhido: equação de Ergun para leito empacotado no ponto de incipiente fluidização).
Explicação didática:
  • A equação de Ergun relaciona gradiente de pressão em um leito empacotado com a velocidade superficial do fluido U. Na forma usada aqui:
\frac{\Delta P}{L} = \frac{150(1-\varepsilon)^2\mu}{\varepsilon^3 d_e^2}\,U \;+\; \frac{1{,}75(1-\varepsilon)\rho_f}{\varepsilon^3 d_e}\,U^2,
onde:
  • \mu é viscosidade dinâmica do fluido,
  • d_e é o diâmetro hidráulico efetivo da partícula (para partículas não-esféricas usa-se um diâmetro equivalente que inclua a esfericidade),
  • \varepsilon é a porosidade (aqui \varepsilon_{mf}),
  • L é o comprimento do leito considerado (aqui L=H_{mf}).
  • Para partículas não-esféricas usa-se o diâmetro equivalente que relaciona a área superficial específica. Uma forma prática é usar:
d_e = d_p\,\psi,
onde \psi é a esfericidade (sendo \psi<1 para partículas menos esféricas). Isso altera a resistência ao escoamento de forma simples no Ergun (esta é a aproximação adotada aqui).
  • Na condição de incipiente fluidização, \Delta P/L é conhecido (veja Passo 3): \Delta P/L = [(1-\varepsilon_{mf})\rho_s - \rho_f] g. Então substituímos e resolvemos a equação de Ergun para U_{mf}, que é uma quadrática em U:
B\,U^2 + A\,U - \frac{\Delta P}{L} = 0,
onde
A=\frac{150(1-\varepsilon_{mf})^2\mu}{\varepsilon_{mf}^3 d_e^2},\qquad B=\frac{1{,}75(1-\varepsilon_{mf})\rho_f}{\varepsilon_{mf}^3 d_e}.
A solução positiva é
U_{mf}=\frac{-A + \sqrt{A^2 + 4 B (\Delta P/L)}}{2B}.
Valores numéricos a utilizar:
  • viscosidade do ar a 25^\circ\mathrm{C}: \mu\approx 1{,}85\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (a variação com pressão é pequena para gases ideais a esta temperatura),
  • d_e = d_p\,\psi = 0{,}00012\times 0{,}88 = 1{,}056\times 10^{-4}\\ \mathrm{m},
  • \varepsilon_{mf}=0{,}42,
  • \Delta P/L = [(1-\varepsilon_{mf})\rho_s - \rho_f] g \approx 577{,}63\times 9{,}81 \approx 5667\\ \mathrm{Pa/m}.

Passo 5

Cálculo numérico do U_{mf} via Ergun (com esfericidade).
Calculemos A e B:
\begin{aligned} A &= \frac{150(0{,}58)^2\,\mu}{(0{,}42)^3\,d_e^2},\\\ B &= \frac{1{,}75(0{,}58)\,\rho_f}{(0{,}42)^3\,d_e}. \end{aligned}
Substituindo \mu=1{,}85\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, \rho_f=2{,}37\\ \mathrm{kg/m^3}, d_e=1{,}056\times 10^{-4}\\ \mathrm{m} e \varepsilon_{mf}^3=(0{,}42)^3=0{,}074088:
  • Calculando numericamente (mostro apenas valores finais das etapas):
A \approx 1{,}13\times 10^{6}\\ \mathrm{(Pa/m)/(m/s)}\quad(\text{unidade tal que }A U\text{ tem dimensões de Pa/m}),õ
B \approx 3{,}076\times 10^{5}\\ \mathrm{(Pa/m)/(m/s)^2}.
A razão \Delta P/L já obtida: \Delta P/L \approx 5667\\ \mathrm{Pa/m}.
Agora a solução quadrática:
U_{mf}=\frac{-A + \sqrt{A^2 + 4 B (\Delta P/L)}}{2B}.
Substituindo os números:
U_{mf}\approx \frac{-1{,}13\times 10^{6} + \sqrt{(1{,}13\times 10^{6})^2 + 4\times 3{,}076\times 10^{5}\times 5667}}{2\times 3{,}076\times 10^{5}} \approx 6{,}08\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cálculo de U_{mf} supondo que não conhecemos a esfericidade (uso da correlação de Wen & Yu — relação entre Re_{mf} e número de Archimedes Ar).
Explicação didática:
  • Uma forma muito utilizada quando se quer U_{mf} sem detalhes geométricos é usar correlações empíricas que ligam o número de Reynolds na condição de incipiente fluidização Re_{mf} ao número de Archimedes Ar.
  • Definições:
Re_{mf}=\frac{\rho_f\,U_{mf}\,d_p}{\mu}, \qquad Ar=\frac{d_p^3\,\rho_f(\rho_s-\rho_f)g}{\mu^2}.
  • A correlação de Wen & Yu (muito usada) dá:
Re_{mf} = \sqrt{33{,}7^2 + 0{,}0408\,Ar}\;-\;33{,}7.
  • A partir de Re_{mf} obtém-se U_{mf} = Re_{mf}\,\mu/(\rho_f d_p). Observe que aqui uso o diâmetro nominal d_p sem correção por esfericidade.
Cálculo numérico:
  • Primeiro Ar com d_p=1{,}2\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}, \rho_f=2{,}37\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_s-\rho_f\approx 997{,}63\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \mu=1{,}85\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
Ar \approx 117\\ (\text{valor adimensional}).
  • Aplicando Wen & Yu:
Re_{mf} \approx \sqrt{33{,}7^2 + 0{,}0408\times 117}\;-\;33{,}7 \approx 0{,}080,
portanto
U_{mf} = \frac{Re_{mf}\,\mu}{\rho_f\,d_p} \approx \frac{0{,}080\times 1{,}85\times 10^{-5}}{2{,}37\times 1{,}2\times 10^{-4}} \approx 5{,}21\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Resumo e interpretação rápida (ânimo!):
  • Obtivemos a altura do leito e a queda de pressão diretamente das definições e do balanço de forças.
  • Para U_{mf} com correção por esfericidade usei Ergun (mais fiel à geometria do leito); sem correção usei a correlação empírica de Wen & Yu.
  • Os dois valores de U_{mf} são próximos (ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}); diferenças vêm das aproximações (Ergun com ajuste geométrico vs correlação empírica).

Resposta

H_{mf}=1{,}724\\ \mathrm{m}
\Delta P \approx 9{,}78\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}
U_{mf} (com esfericidade, via Ergun) \approx 6{,}08\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}
U_{mf} (sem esfericidade, via Wen & Yu) \approx 5{,}21\times 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}

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