Considere uma máquina térmica X que executa um ciclo termodinâmico com a realização de trabalho. O rendimento dessa máquina é de 25 \% do rendimento de uma máquina Y que funciona segundo o ciclo de Carnot, operando entre duas fontes de calor com temperaturas de 87^{\circ} \mathrm{C} e 327^{\circ} \mathrm{C}. Durante um ciclo, o calor rejeitado pela máquina X para a fonte fria é de 810 J , então o trabalho realizado neste ciclo é de
a) 60 J
b) 90 J
c) 120 J
d) 150 J
e) 180 J

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o trabalho realizado por ciclo:
  • Máquina X tem rendimento igual a 25\% do rendimento de uma máquina Y que é de Carnot.
  • A máquina Y opera entre duas fontes com temperaturas 87^\circ\mathrm{C} e 327^\circ\mathrm{C}.
  • Durante um ciclo, a máquina X rejeita para a fonte fria a quantidade de calor Q_c = 810\\ \mathrm{J}.
  • Pedido: determinar o trabalho W realizado neste ciclo pela máquina X.
  • Alternativas dadas:
    a) 60\\ \mathrm{J}
    b) 90\\ \mathrm{J}
    c) 120\\ \mathrm{J}
    d) 150\\ \mathrm{J}
    e) 180\\ \mathrm{J\!}

Passo 2

Converter temperaturas para Kelvin e calcular o rendimento de Carnot. Lembre que para transformar graus Celsius em Kelvin soma-se 273{,}15. Assim:
T_c = 87 + 273{,}15 = 360{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_h = 327 + 273{,}15 = 600{,}15\\ \mathrm{K}.
O rendimento de Carnot é dado por
\eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Substituindo os valores:
\eta_C = 1 - \frac{360{,}15}{600{,}15}\approx 1 - 0{,}6001 \approx 0{,}3999\approx 40\%.
(Para facilitar contas sem perda prática, pode-se usar a aproximação T_c=360\\ \mathrm{K} e T_h=600\\ \mathrm{K}, que dá \eta_C=1-360/600=1-0{,}6=0{,}4=40\%.)

Passo 3

Calcular o rendimento da máquina X. Foi dado que \eta_X é 25\% (ou 0{,}25) do rendimento de Carnot:
\eta_X = 0{,}25\cdot\eta_C.
Usando a aproximação \eta_C=0{,}4:
\eta_X = 0{,}25\cdot 0{,}4 = 0{,}1 = 10\%.

Passo 4

Lembrar e explicar a relação entre calor recebido Q_h, calor rejeitado Q_c e trabalho W numa máquina térmica:
  • Energia conservada por ciclo: Q_h = W + Q_c, isto é, o calor recebido Q_h se transforma em trabalho W mais o calor rejeitado Q_c.
  • Definição de rendimento: \displaystyle \eta = \frac{W}{Q_h}.
    Juntando as duas relações obtemos:
\eta = \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{Q_c}{Q_h}.
Dessa igualdade podemos isolar Q_h:
Q_h = \frac{Q_c}{1-\eta}.
E então o trabalho W pode ser escrito em função de Q_c e \eta:
W = \eta\,Q_h = \eta\cdot\frac{Q_c}{1-\eta} = Q_c\cdot\frac{\eta}{1-\eta}.
Essa fórmula é muito útil quando se conhece Q_c e o rendimento \eta.

Passo 5

Substituir os valores conhecidos na fórmula derivada. Temos Q_c = 810\\ \mathrm{J} e \eta = 0{,}1. Então
W = 810\cdot\frac{0{,}1}{1-0{,}1} = 810\cdot\frac{0{,}1}{0{,}9}.
Simplificando a fração:
\frac{0{,}1}{0{,}9}=\frac{1}{9},
portanto
W = 810\cdot\frac{1}{9}.

Passo 6

Calcular o produto final:
W = \frac{810}{9} = 90\\ \mathrm{J}.
Assim, dentre as alternativas fornecidas a correta é a que corresponde a 90\\ \mathrm{J}.

Resposta

b) 90\\ \mathrm{J}

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