- 38 Duas ondas senoidais de mesma frequência e mesmo sentido sāo produzidas em uma corda esticada. Uma das ondas tem uma amplitude de
e a outra uma amplitude de
. (a) Qual deve ser a diferença de fase
, entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a menor possível? (b) Qual essa amplitude mínima? (c) Qual deve ser a diferença de fase
entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a maior possível? (d) Qual é essa amplitude máxima? (e) Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é (
)/2?
- 39 Duas ondas senoidais de mesmo período, com 5,0 e
de amplitude, se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada, onde produzem uma onda resultante com uma amplitude de 9,0 mm . A constante de fase da onda de
é 0 . Qual é a constante de fase da onda de
?
Passo 1
Vou escrever claramente o que cada enunciado pede e quais dados foram fornecidos.
Questão 38:
- Dados:
- Amplitude da onda 1:
. - Amplitude da onda 2:
. - As duas ondas têm mesma frequência e propagam-se no mesmo sentido.
- Amplitude da onda 1:
- Perguntas:
(a) Qual deve ser a diferença de faseentre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a menor possível?
(b) Qual essa amplitude mínima?
(c) Qual deve ser a diferença de faseentre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a maior possível?
(d) Qual é essa amplitude máxima?
(e) Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é? - Observação importante: a formulação do item (e) está ambígua na redação original (parece referir-se a um ângulo que é metade da diferença de fase). Vou explicitar essa ambiguidade e, na resolução, interpretar de forma natural: tomar a diferença de fase entre as ondas como sendo
, e então avaliar a expressão da amplitude resultante quando esse ângulo é . Se o enunciado original pretendia outra coisa, devo ter informado que há incerteza.
Questão 39:
- Dados:
- Amplitude da onda 1:
com constante de fase . - Amplitude da onda 2:
com constante de fase desconhecida. - Amplitude da onda resultante:
. - As ondas têm o mesmo período e propagam-se no mesmo sentido.
- Amplitude da onda 1:
- Pergunta:
- Qual é a constante de fase
da onda de ?
- Qual é a constante de fase
Passo 2
Conceito e fórmula básica (aula curtinha, mas essencial).
Quando se somam duas ondas senoidais de mesma frequência que se propagam no mesmo sentido, de forma geral podemos escrever (escolhendo a mesma frequência e origem de tempos)
Quando se somam duas ondas senoidais de mesma frequência que se propagam no mesmo sentido, de forma geral podemos escrever (escolhendo a mesma frequência e origem de tempos)
A soma
é outra senóide de mesma frequência com amplitude
dada por uma fórmula muito útil (obtida por soma de cossenos ou por adição vetorial de fasores):
onde
é a diferença de fase entre as duas ondas. Explicação rápida do porquê (intuição): a soma é como somar dois vetores (phasors) de comprimentos
e
com ângulo entre eles
; o comprimento do vetor resultante obedece à lei dos cossenos, dando a fórmula acima.
Passo 3
Aplicarei a fórmula da amplitude resultante ao caso da Questão 38 com os valores dados.
Aqui vamos tomar como diferença de fase entre as ondas a quantidade pedida no enunciado (ou seja,
). Substituindo
mm e
mm:
Aqui vamos tomar como diferença de fase entre as ondas a quantidade
Para clareza, calculo os termos constantes:
Então
Passo 4
Responder (a) e (b): amplitude mínima.
Observação: a expressão varia entre
e
. Para minimizar
precisamos minimizar
, portanto escolher o menor valor possível de
, que é
. Isso ocorre quando
Observação: a expressão
Substituindo
em
:
Interpretação física simples: ondas com mesma frequência e fases defasadas em
estão em oposição de fase e há interferência destrutiva máxima; o resultado é a diferença absoluta das amplitudes:
.
Passo 5
Responder (c) e (d): amplitude máxima.
Para obter amplitude máxima, escolhemos o maior valor possível de , que é
. Isso ocorre quando
Para obter amplitude máxima, escolhemos o maior valor possível de
Substituindo
em
:
Interpretação: ondas em fase somam suas amplitudes (interferência construtiva máxima):
.
Passo 6
Abordagem didática extra (identidade trigonométrica útil).
É bom conhecer também a forma que expressa usando a meia-diferença de fase, porque aparece frequentemente:
É bom conhecer também a forma que expressa
então
Essa forma mostra que, quando
(ondas em fase), o termo com
domina e
; quando
(ou
), o termo com
domina e
.
Passo 7
Responder (e) com clareza sobre a ambiguidade.
Recordando: o enunciado pergunta “Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é ?” Há duas interpretações possíveis:
Recordando: o enunciado pergunta “Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é
- Interpretação 1 (que vou adotar por ser a mais direta): chamar
a diferença de fase e substituir (isto é, tomar a variável de igual a essa quantidade). Nesse caso, a amplitude resultante é, diretamente,
- Observação: se a intenção original fosse outra (por exemplo avaliar
em função de na forma com e apresentados no Passo 6), a expressão equivalente usando é
com
e
, ou seja
onde
. Ambas as formas são equivalentes via identidades trigonométricas (lembre:
). Como o enunciado não dá valores numéricos para
e
, não há um número final para (e), apenas a expressão em função de
.
Passo 8
Agora resolvo a Questão 39 de forma direta e bem explicada.
Usamos a mesma fórmula do Passo 2:
Usamos a mesma fórmula do Passo 2:
com
,
,
e
. Substituindo:
Calculo os quadrados:
Então isolo
:
Passo 9
Determinar
a partir de
.
A solução principal (no intervalo ) é
A solução principal (no intervalo
Há também a solução simétrica no mesmo intervalo:
Em forma geral, as soluções são
Física/interpretativamente, ambas as soluções (a positiva e a complementária) levam ao mesmo valor de
e portanto à mesma amplitude resultante; a escolha entre elas depende da convenção de fase ou do intervalo que se deseja.
Resposta
(a)
(ou
)
(b)
(c) (ou
)
(d)
(e) Interpretação e expressão: com ,
(b)
(c)
(d)
(e) Interpretação e expressão: com
(ou, substituindo diretamente
na forma original,
).
Questão 39:
(ou alternativamente
).