• 38 Duas ondas senoidais de mesma frequência e mesmo sentido sāo produzidas em uma corda esticada. Uma das ondas tem uma amplitude de 5,0 \mathrm{~mm} e a outra uma amplitude de 8,0 \mathrm{~mm}. (a) Qual deve ser a diferença de fase \varphi, entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a menor possível? (b) Qual essa amplitude mínima? (c) Qual deve ser a diferença de fase \phi_{2} entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a maior possível? (d) Qual é essa amplitude máxima? (e) Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é ( \phi_{1}-\phi_{2} )/2?
  • 39 Duas ondas senoidais de mesmo período, com 5,0 e 7,0 \mathrm{~mm} de amplitude, se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada, onde produzem uma onda resultante com uma amplitude de 9,0 mm . A constante de fase da onda de 5,0 \mathrm{~mm} é 0 . Qual é a constante de fase da onda de 7,0 \mathrm{~mm} ?

Passo 1

Vou escrever claramente o que cada enunciado pede e quais dados foram fornecidos.
Questão 38:
  • Dados:
    • Amplitude da onda 1: A_1=5{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • Amplitude da onda 2: A_2=8{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • As duas ondas têm mesma frequência e propagam-se no mesmo sentido.
  • Perguntas:
    (a) Qual deve ser a diferença de fase \varphi entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a menor possível?
    (b) Qual essa amplitude mínima?
    (c) Qual deve ser a diferença de fase \phi_{2} entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a maior possível?
    (d) Qual é essa amplitude máxima?
    (e) Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é (\phi_{1}-\phi_{2})/2?
  • Observação importante: a formulação do item (e) está ambígua na redação original (parece referir-se a um ângulo que é metade da diferença de fase). Vou explicitar essa ambiguidade e, na resolução, interpretar de forma natural: tomar a diferença de fase entre as ondas como sendo \varphi, e então avaliar a expressão da amplitude resultante quando esse ângulo é \varphi=(\phi_{1}-\phi_{2})/2. Se o enunciado original pretendia outra coisa, devo ter informado que há incerteza.
Questão 39:
  • Dados:
    • Amplitude da onda 1: A_1=5{,}0\\ \mathrm{mm} com constante de fase \phi_1=0.
    • Amplitude da onda 2: A_2=7{,}0\\ \mathrm{mm} com constante de fase \phi_2 desconhecida.
    • Amplitude da onda resultante: R=9{,}0\\ \mathrm{mm}.
    • As ondas têm o mesmo período e propagam-se no mesmo sentido.
  • Pergunta:
    • Qual é a constante de fase \phi_2 da onda de 7{,}0\\ \mathrm{mm}?

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula curtinha, mas essencial).
Quando se somam duas ondas senoidais de mesma frequência que se propagam no mesmo sentido, de forma geral podemos escrever (escolhendo a mesma frequência e origem de tempos)
y_1(t)=A_1\cos(\omega t+\phi_1), \qquad y_2(t)=A_2\cos(\omega t+\phi_2).
A soma y(t)=y_1(t)+y_2(t) é outra senóide de mesma frequência com amplitude R dada por uma fórmula muito útil (obtida por soma de cossenos ou por adição vetorial de fasores):
R=\sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi},
onde
\Delta\varphi=\phi_2-\phi_1
é a diferença de fase entre as duas ondas. Explicação rápida do porquê (intuição): a soma é como somar dois vetores (phasors) de comprimentos A_1 e A_2 com ângulo entre eles \Delta\varphi; o comprimento do vetor resultante obedece à lei dos cossenos, dando a fórmula acima.

Passo 3

Aplicarei a fórmula da amplitude resultante ao caso da Questão 38 com os valores dados.
Aqui vamos tomar como diferença de fase entre as ondas a quantidade \varphi pedida no enunciado (ou seja, \varphi=\Delta\varphi). Substituindo A_1=5{,}0 mm e A_2=8{,}0 mm:
R(\varphi)=\sqrt{5{,}0^{2} + 8{,}0^{2} + 2\cdot 5{,}0\cdot 8{,}0\cos\varphi}.
Para clareza, calculo os termos constantes:
5{,}0^{2}=25{,}0,\qquad 8{,}0^{2}=64{,}0,\qquad 2\cdot5{,}0\cdot8{,}0=80{,}0.
Então
R(\varphi)=\sqrt{25{,}0 + 64{,}0 + 80{,}0\cos\varphi}=\sqrt{89{,}0 + 80{,}0\cos\varphi}.

Passo 4

Responder (a) e (b): amplitude mínima.
Observação: a expressão \cos\varphi varia entre -1 e +1. Para minimizar R(\varphi) precisamos minimizar 89{,}0 + 80{,}0\cos\varphi, portanto escolher o menor valor possível de \cos\varphi, que é -1. Isso ocorre quando
\cos\varphi=-1 \quad\Rightarrow\quad \varphi=\pi\\ (\text{ou } \varphi=(2n+1)\pi,\\ n\in\mathbb{Z}).
Substituindo \cos\varphi=-1 em R(\varphi):
R_{\min}=\sqrt{89{,}0 + 80{,}0(-1)}=\sqrt{89{,}0-80{,}0}=\sqrt{9{,}0}=3{,}0\\ \mathrm{mm}.
Interpretação física simples: ondas com mesma frequência e fases defasadas em \pi estão em oposição de fase e há interferência destrutiva máxima; o resultado é a diferença absoluta das amplitudes: |A_2-A_1|=8{,}0-5{,}0=3{,}0\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Responder (c) e (d): amplitude máxima.
Para obter amplitude máxima, escolhemos o maior valor possível de \cos\varphi, que é +1. Isso ocorre quando
\cos\varphi=+1 \quad\Rightarrow\quad \varphi=0\\ (\text{ou }2n\pi).
Substituindo \cos\varphi=+1 em R(\varphi):
R_{\max}=\sqrt{89{,}0 + 80{,}0(1)}=\sqrt{89{,}0+80{,}0}=\sqrt{169{,}0}=13{,}0\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: ondas em fase somam suas amplitudes (interferência construtiva máxima): A_1+A_2=5{,}0+8{,}0=13{,}0\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Abordagem didática extra (identidade trigonométrica útil).
É bom conhecer também a forma que expressa R usando a meia-diferença de fase, porque aparece frequentemente:
\cos\Delta\varphi = 1 - 2\sin^2\!\Big(\frac{\Delta\varphi}{2}\Big),
então
R=\sqrt{(A_1+A_2)^2\cos^2\!\Big(\frac{\Delta\varphi}{2}\Big) + (A_2-A_1)^2\sin^2\!\Big(\frac{\Delta\varphi}{2}\Big)}.
Essa forma mostra que, quando \Delta\varphi/2=0 (ondas em fase), o termo com \cos domina e R=A_1+A_2; quando \Delta\varphi/2=\pi/2 (ou \Delta\varphi=\pi), o termo com \sin domina e R=|A_2-A_1|.

Passo 7

Responder (e) com clareza sobre a ambiguidade.
Recordando: o enunciado pergunta “Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é (\phi_{1}-\phi_{2})/2?” Há duas interpretações possíveis:
  • Interpretação 1 (que vou adotar por ser a mais direta): chamar \Delta\varphi=\phi_2-\phi_1 a diferença de fase e substituir \varphi=\dfrac{\phi_1-\phi_2}{2} (isto é, tomar a variável de \cos igual a essa quantidade). Nesse caso, a amplitude resultante é, diretamente,
R=\sqrt{89{,}0 + 80{,}0\cos\!\Big(\frac{\phi_1-\phi_2}{2}\Big)}.
  • Observação: se a intenção original fosse outra (por exemplo avaliar R em função de \Delta\varphi/2 na forma com \sin e \cos apresentados no Passo 6), a expressão equivalente usando \theta=(\phi_1-\phi_2)/2 é
R=\sqrt{(A_1+A_2)^2\cos^2\theta + (A_2-A_1)^2\sin^2\theta},
com A_1=5{,}0 e A_2=8{,}0, ou seja
R=\sqrt{13{,}0^{2}\cos^2\theta + 3{,}0^{2}\sin^2\theta}=\sqrt{169{,}0\cos^2\theta + 9{,}0\sin^2\theta},
onde \theta=(\phi_1-\phi_2)/2. Ambas as formas são equivalentes via identidades trigonométricas (lembre: \cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta). Como o enunciado não dá valores numéricos para \phi_1 e \phi_2, não há um número final para (e), apenas a expressão em função de \theta.

Passo 8

Agora resolvo a Questão 39 de forma direta e bem explicada.
Usamos a mesma fórmula do Passo 2:
R^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi,
com A_1=5{,}0, A_2=7{,}0, R=9{,}0 e \Delta\varphi=\phi_2-\phi_1=\phi_2-0=\phi_2. Substituindo:
9{,}0^{2} = 5{,}0^{2} + 7{,}0^{2} + 2\cdot 5{,}0\cdot7{,}0\cos\phi_2.
Calculo os quadrados:
81{,}0 = 25{,}0 + 49{,}0 + 70{,}0\cos\phi_2.
Então isolo \cos\phi_2:
81{,}0 - 74{,}0 = 70{,}0\cos\phi_2 \quad\Rightarrow\quad 7{,}0 = 70{,}0\cos\phi_2 \quad\Rightarrow\quad \cos\phi_2 = \frac{7{,}0}{70{,}0}=0{,}1.

Passo 9

Determinar \phi_2 a partir de \cos\phi_2=0{,}1.
A solução principal (no intervalo [0,2\pi)) é
\phi_2 = \operatorname{arccos}(0{,}1)\approx 1{,}4706\\ \text{rad}\approx 84{,}26^\circ.
Há também a solução simétrica no mesmo intervalo:
\phi_2 = 2\pi - \operatorname{arccos}(0{,}1)\approx 4{,}8126\\ \text{rad}\approx 275{,}74^\circ.
Em forma geral, as soluções são
\phi_2 = \pm \operatorname{arccos}(0{,}1) + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Física/interpretativamente, ambas as soluções (a positiva e a complementária) levam ao mesmo valor de \cos\phi_2 e portanto à mesma amplitude resultante; a escolha entre elas depende da convenção de fase ou do intervalo que se deseja.

Resposta

(a) \varphi=\pi (ou \varphi=(2n+1)\pi,\\ n\in\mathbb{Z})
(b) R_{\min}=3{,}0\\ \mathrm{mm}
(c) \phi_{2}=0 (ou \phi_{2}=2n\pi,\\ n\in\mathbb{Z})
(d) R_{\max}=13{,}0\\ \mathrm{mm}
(e) Interpretação e expressão: com \theta=(\phi_1-\phi_2)/2,
R=\sqrt{169{,}0\cos^2\theta + 9{,}0\sin^2\theta}
(ou, substituindo diretamente \varphi=(\phi_1-\phi_2)/2 na forma original, R=\sqrt{89{,}0 + 80{,}0\cos\!\big(\tfrac{\phi_1-\phi_2}{2}\big)}).
Questão 39: \phi_2=\operatorname{arccos}(0{,}1)\approx 1{,}4706\\ \text{rad}\approx 84{,}26^\circ (ou alternativamente \phi_2=2\pi-\operatorname{arccos}(0{,}1)\approx 4{,}8126\\ \text{rad}).

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