a) x^3+2 x^2+x-4=0
b) x^3-x^2+x+14=0
c) x^4-3 x^3+x^2-2=0
d) 2 x^3-x^2-1=0
e) x^3+x^2+x-14=0
f) x^3=3 x^2-4 x-12=0

Passo 1

Temos seis equações polinomiais de grau 3 ou 4. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema das Raízes Racionais para testar possíveis raízes inteiras, divisão sintética (ou divisão de polinômios) para reduzir o grau e, quando surgir um polinômio de segundo grau, aplicaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar suas raízes.

Passo 2

Para a)
Aplicamos Teorema das Raízes Racionais em
x^3+2x^2+x-4=0
Os candidatos são pm1,pm2,pm4. Testando x=1 temos
1+2+1-4=0,
logo x=1 é raiz. Dividindo o polinômio por (x-1) via divisão sintética obtemos o quociente
x^2+3x+4
Agora resolvemos
x^2+3x+4=0
pelos seus coeficientes a=1,b=3,c=4:
x=-3pmraiz9-162 = -3pm iraiz72

Passo 3

Para b)
Em
x^3-x^2+x+14=0
testamos candidatos pm1,pm2,pm7,pm14. Para x=-2:
-8 -4 -2 +14 =0,
logo x=-2 é raiz. Dividindo por (x+2) via sintética, o quociente é
x^2-3x+7
Resolvendo
x^2-3x+7=0
pelos coeficientes a=1,b=-3,c=7:
x=3pmraiz9-282 = 3pm iraiz192

Passo 4

Para c)
Temos
x^4-3x^3+x^2-2=0
Procuramos fatorar como
(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=0
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
a+c=-3,
ac+b+d=1,
ad+bc=0,
bd=-2
Testando (b,d)=(1,-2) encontramos a=-1,c=-2. Assim
x^4-3x^3+x^2-2=(x^2-x+1)(x^2-2x-2)
Resolvendo cada fator:
Para x^2-x+1=0:
x=1pm iraiz32
Para x^2-2x-2=0:
x=2pmraiz4+82 =1pmraiz3

Passo 5

Para d)
Em
2x^3-x^2-1=0
os candidatos são pm1,pmtfrac12. Para x=1:
2 -1 -1 =0,
logo x=1 é raiz. Dividindo por (x-1) em sintética, o quociente é
2x^2+x+1
Resolvendo
2x^2+x+1=0
pelos coeficientes a=2,b=1,c=1:
x=-1pmraiz1-84 = -1pm iraiz74

Passo 6

Para e)
Em
x^3+x^2+x-14=0
os candidatos são pm1,pm2,pm7,pm14. Para x=2:
8+4+2-14=0,
logo x=2 é raiz. Dividindo por (x-2) via sintética, o quociente é
x^2+3x+7
Resolvendo
x^2+3x+7=0
pelos coeficientes a=1,b=3,c=7:
x=-3pmraiz9-282 = -3pm iraiz192

Passo 7

Para f)
Assumindo que a equação é
x^3+3x^2-4x-12=0,
os candidatos são pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm12. Para x=2:
8+12-8-12=0,
logo x=2 é raiz. Dividindo por (x-2) via sintética, o quociente é
x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)
Portanto as raízes são x=-2 e x=-3.

Resposta

a) x=1,;x=tfrac-3pm iraiz72
b) x=-2,;x=tfrac3pm iraiz192
c) x=1+raiz3,;x=1-raiz3,;x=tfrac1pm iraiz32
d) x=1,;x=tfrac-1pm iraiz74
e) x=2,;x=tfrac-3pm iraiz192
f) x=2,;x=-2,;x=-3.

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