Suponha que f e g sejam integráveis e que integral1^2 f(x) d x=-4, integral1^5 f(x) d x=6 e integral1^5 g(x) d x=8. Determine:
integral1^5[4 f(x)-2 g(x)] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma combinação das funções $ f $ e $ g $ no intervalo de 1 a 5. Para isso, vamos usar propriedades básicas de integrais, como a linearidade, que facilita bastante na hora de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a propriedade da linearidade das integrais. Isso quer dizer que a integral de uma soma (ou subtração) de funções é igual à soma (ou subtração) das integrais dessas funções. Além disso, podemos puxar constantes para fora da integral. Então, temos:
integral1^5 [4f(x) - 2g(x)] , dx = 4 integral1^5 f(x) , dx - 2 integral1^5 g(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos das integrais. O problema nos deu que:
integral1^5 f(x) , dx = 6 e integral1^5 g(x) , dx = 8

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão que montamos:
4 integral1^5 f(x) , dx - 2 integral1^5 g(x) , dx = 4 times 6 - 2 times 8 = 24 - 16 = 8

Resposta

Portanto, o valor da integral integral1^5 [4f(x) - 2g(x)] , dx é 8.

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