Considere o problema de valor inicial
Mude a segunda condição inicial para
e encontre a solução como função de
.
Passo 1
Olha só, a gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O enunciado é:
com condições iniciais
e
.
Isso é conteúdo de equações diferenciais homogêneas lineares; vamos usar a equação característica para resolver.
Isso é conteúdo de equações diferenciais homogêneas lineares; vamos usar a equação característica para resolver.
Passo 2
A equação característica associada à equação homogênea é obtida trocando
por
,
por
e
por 1. Ou seja,
Resolvendo, o discriminante é
, então temos raiz dupla.
Passo 3
Quando a equação característica tem raiz dupla
, a solução geral da ODE é
Isso vem da teoria que diz que, para raiz dupla, o segundo termo ganha um fator
.
Passo 4
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de
. Vamos derivar
:
Podemos agrupar como
Passo 5
Agora usamos as condições iniciais. Em
:
-
-
Substituindodá , logo
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, temos a solução particular em função de
: