Considere o problema de valor inicial
4 y^prime prime+4 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2
Mude a segunda condição inicial para y^prime(0)=b>0 e encontre a solução como função de b.

Passo 1

Olha só, a gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O enunciado é:
4y'' + 4y' + y = 0,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=b>0.
Isso é conteúdo de equações diferenciais homogêneas lineares; vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

A equação característica associada à equação homogênea é obtida trocando y'' por r^2, y' por r e y por 1. Ou seja,
4r^2 + 4r + 1 = 0
Resolvendo, o discriminante é De, então temos raiz dupla.

Passo 3

Quando a equação característica tem raiz dupla r=-tfrac12, a solução geral da ODE é
y(t) = C1 e^-t/2 + C2 ,t, e^-t/2
Isso vem da teoria que diz que, para raiz dupla, o segundo termo ganha um fator t.

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(t). Vamos derivar y(t):
y'(t) = ddtl(C1 e^-t/2 + C2 t e^-t/2r) = -tfrac12 C1 e^-t/2 + C2 e^-t/2 - tfrac12 C2 t e^-t/2
Podemos agrupar como
y'(t) = e^-t/2l(C2 - tfrac12 C1 - tfrac12 C2 tr)

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais. Em t=0:
  • y(0)=C1 = 1
  • y'(0)=C2 - tfrac12 C1 = b
    Substituindo C1=1 C2 - tfrac12 = b, logo C2 = b + tfrac12

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, temos a solução particular em função de b:
y(t) = e^-t/2l(1 + l(b + tfrac12r),tr)

Resposta

y(t)=e^-t/2l(1+l(b+tfrac12r)tr)

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